Question

07) (UFSCar-SP) Quantos números existem entre 1000 e 2000, cada um formado por algarismos distintos e escolhidos entre os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Esse tipo de questão eu gosto de resolver utilizando tracinhos. Sendo que : cada tracinho representa as quantidades de opções de escolha disponíveis p/ uma determinada posição.

Como os números que estão o 1000 e o 2000 são formados por 4 algarismos então nós utilizaremos 4 tracinhos :

__ __ __ __

Total de opções de escolha disponíveis = {1,2,3,4,5 e 6} (6 algarismos)

Agora eu preciso que voce perceba que todos os números que estão entre o 1000 e o 2000 são começados pelo número. Se eles começarem pelo número 2 por exemplo eles já vão ser maiores do que 2000 e portanto não atenderam ao requisito do enunciado.

Logo o número tem uma posição fixa que é o primeiro tracinho.

Como o exercício quer os números formados por algarismos distintos o número que ocupar um desses tracinhos não poderá ser utilizado novamente. Usando o 1 como exemplo : Como ele já vai ficar no primeiro tracinho ele não poderá aparecer em mais nenhuma outra posição.

P/ o 1º tracinho → 1 opção de escolha (Que é o número 1)

Logo p/ o 2º tracinho estarão disponíveis apenas os algarismos {2,3,4,5,6} (5 opções)

P/ o 2º tracinho → 5 opções de escolha

Supondo que eu escolha o número 2 p/ ficar no segundo tracinho nós ficaremos com apenas 4 opções de escolha p/ o próximo tracinho.

P/ o 3º tracinho → 4 opções de escolha {3,4,5,6}

Supondo que eu escolha o número 3 p/ ficar no segundo tracinho vão nos sobrar apenas 3 opções de escolha p/ o último tracinho

P/ o 4º tracinho → 3 opções de escolha {4,5,6}

P/ achar a quantidade de números com 4 algarismos distintos entre o 1000 e o 2000 basta multiplicar todos os valores de opções encontrados anteriormente. Logo :

Total de números = 1.5.4.3 → 60 números

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\textsf{O primeiro algarismo ser{\'a} sempre 1 e os tr{\^e}s restantes ser{\~a}o formados por \{2,3,4,5,6\}.}$

$\sf A_{n,p} = \dfrac{n!}{(n - p)!}$

$\sf A_{5,3} = \dfrac{5!}{(5 - 3)!}$

$\sf A_{5,3} = \dfrac{5.4.3.\not2!}{\not2!}$

$\boxed{\boxed{\sf A_{5,3} = 60}}$