Question

07.Resolver a equação tg2x – tgx = 0, supondo que 0 ≤ x ≤ 360º. Obtemos:




Me ajuda ai pls

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\tg(2x) - \tg(x) = 0$

Primeiro vamos lembrar da relação do arco duplo da tangente, para isso basta fazer o argumento ser x + x, o que resulta em 2x:

$\tg(x + x) = \frac{ \tg(x) + \tg(x}{1 - \tg(x). \tg(x)} \\ \\ \bullet\: \: \: \tg(2x) = \frac{2 \tg(x)}{1 - \tg {}^{2} (x)} \: \: \: \bullet$

Substituindo essa informação, temos que:

$\frac{ 2 \tg(x)}{1 - \tg {}^{2} (x)} - \tg(x) = 0$

Fazendo o MMC através da relação abaixo:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a.d \pm b.c}{b.d}$

Aplicando a relação:

$\frac{2 \tg(x) - \tg(x). [1 - \tg {}^{2} (x)] }{1 - \tg {}^{2}(x) } = 0 \\ \\ 2 \tg(x) - \tg(x). [1 - \tg {}^{2} (x)] = 0.(1 - \tg {}^{2} (x) \\ \\ 2 \tg(x) - \tg(x) + \tg {}^{3} (x) = 0 \\ \\ \tg(x) + \tg {}^{3} (x) = 0 \\ \\ \tg(x). [\tg {}^{2}(x) + 1 ] = 0$

Pelo anulamento de produto temos:

$A \cdot B = 0 \Longleftrightarrow A = 0 \lor B = 0$

Ou seja, em um produto com resultado igual a 0, um dos termos deve ser igual A ou B:

$\tg(x) = 0 \: \: \: ou \: \: \: \tg {}^{2} (x) + 1 = 0 \\ \tg(x) = 0 \: \: \: ou \: \: \: \tg (x) = \sqrt{ - 1}$

O segundo temos tg(x) = √-1 não existe nos reais, então podemos descartá-lo, ficamos apenas com o outro termo, então:

$\tg(x) = 0 \to \begin{cases}x = \arctg(0) \\ x = 0,\: \pi\; ou \:2\pi\end{cases}$

Essas são as resoluções pois devem estar dentro do intervalo de 0 à 360

Espero ter ajudado