Question

07 – (Fgv 2018) – Um triângulo isosceles ABC, com AB = AC =1, é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do ângulo de vértice A.Se cos18 = m, então, o quadrado de BC é igual a:

Answer 1

Resposta: BC = 4 - 4m^2

ABC, com AB = AC =1, é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do ângulo de vértice A.Se cos18 = m, então, o quadrado de BC é igual a:

os ângulos

2x + 2x + x = 180

5x = 180

x = 180/5 = 36

precisamos do cos(36)

cos^2(x) + sen^2(x) = 1

m^2 + sen^2(x) = 1

sen^2(x) = 1 - m^2

cos(36) = cos^2(18) - sen^2(18) = m^2 - 1 + m^2 = 2m^2 - 1

Lei dos cossenos

a = 1, b = 1, BC = y

y^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(Y)

y^2 = 1^2 + 1^2 - 2*1*1*cos(36)

y^2 = 2 - 2*(2m^2 - 1)

y^2 = 2 - 4m^2 + 2

y^2 = 4 - 4m^2

Answer 2

O quadrado de BC é igual a 4 - 4m².

Lei dos cossenos

Em questões desse tipo, geralmente devemos relacionar as medidas dos lados e os ângulos de um triângulo. A lei dos cossenos pode ser representada por:

C² = A² + B² - 2·A·B·cos x

Se os ângulos da base medem o dobro do terceiro ângulo, então:

2x + 2x + x = 180°

5x = 180°

x = 36°

Neste caso, temos que C representa a base BC e que A e B são os lados medindo 1, logo, teremos:

BC² = AB² + AC² - 2·AB·BC·cos 36°

BC² = 1 + 1 - 2·1·1·cos 36°

BC² = 2 - 2·cos 36°

Temos que:

cos(2x) = cos²x - sen²x

Pela identidade trigonométrica, temos:

sen² x + cos² x = 1

sen² x = 1 - m²

Então:

cos(2x) = m² - (1 - m²)

cos(2x) = 2m² - 1

Sendo x = 36°, teremos cos(2x) = cos 36°, então:

BC² = 2 - 2·(2m² - 1)

BC² = 2 - 4m² + 2

BC² = 4 - 4m²

Leia mais sobre lei dos cossenos em:

https://brainly.com.br/tarefa/25996390

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