Question

07. Em torno de um planeta fictício gravitam, em órbitas circulares e coplanares, dois satélites naturais: Taurus e Centaurus.
Sabendo que o período de revolução de Taurus é 27 vezes o de Centaurus e que o raio da órbita de Centaurus vale R,
determine:

a) o raio da órbita de Taurus;

b) o intervalo de valores possíveis para a distância que separa os dois satélites durante seus movimentos em torno do
planeta.

Answer 1

Resposta: A) 9R B) 8R ≤ d ≤ 10R

Explicação: qualquer duvida chama

Answer 2

O raio da órbita de Taurus é 9R, e o intervalo de valores possíveis para a distância entre os planetas é entre 8R e 10R.

Leis de Kepler

Considerando as órbitas dos planetas como sendo circulares, a Segunda Lei de Kepler afirma que a velocidade do planeta é constante. Isso se dá pelo fato de a velocidade ser proporcional às áreas varridas pelo raio vetor, sendo que, na circunferência, essas áreas são iguais em intervalos de tempos iguais.

Esta afirmação nos permite estudar o movimento dos planetas ao redor do Sol e nos permite também estudar o movimento dos satélites ao redor dos planetas de maneira bastante aproximada. Para isso, basta fazermos uso de expressões matemáticas do movimento circular uniforme e deduzir uma nova expressão matemática para a terceira Lei de Kepler, obtendo

$T^{2} = \frac{4.\pi^{2} .R^{3} }{GM}$

Sendo T é o período de revolução do planeta ou o período de revolução do satélite, M é a massa do Sol e R é o raio da órbita. Vale ressaltar que a equação acima também nos permite determinar o valor da constante k da Terceira Lei de Kepler ($T^{2} = k.R^{3}$), sendo  $k = \frac{4.\pi ^{2} }{G.M}$.

Sendo k constante, podemos definir:

$\frac{T_{C}^{2} }{R_{C}^{3} } = \frac{T_{T}^{2} }{R_{T}^{3} }$

Sendo:

$T_{T} = 27.T_{C}$

Rc = R

$\frac{T_{C} ^{2}}{R} = \frac{(27.T_{C})^{2}}{R^{3}_{T}}\\ \\R^{3}_{T} = \frac{(27.T_{C})^{2}.R}{T_{C} ^{2}}\\\\R^{3}_{T} = 729.R\\\\R = 9R$

O intervalo de valores possíveis para as distâncias entre os planetas deve ser calculado considerando a mínima distância e a máxima distância entre eles:

Distância máxima: dmax = 9R + R = 10R

Distância mínima: dmin = 9R – R = 8R

$8.R \leq d \leq 10.R$

Veja mais sobre Órbitas Planetares em: https://brainly.com.br/tarefa/19565967

Bons estudos!