Question

07) Determine, no conjunto R. o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas:
a) x⁴ - 8x²_ 9 = 0
b) x⁴.4 = 3x²
c) x⁴ - 16X² = 0
d) x²- 8x²+ 16 = 0​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

x⁴ - 8x²- 9 = 0 =>

(x²)² - 8x²- 9 = 0

Fazendo x² = y e substituindo na equação acima, temos

y² - 8y - 9 = 0

Pela soma e produto das raízes, devemos ter

y1 + y2 = 8

y1.y2 = -9

Logo

y1 = -1 e y2 = 9, pois

-1 + 9 = 8

e

(-1).9 = -9

Agora, temos que

x²= 9 =>

$x = + ou - \sqrt{9} = + ou - 3$

x² = -1 não serve, pois

$x = + ou - \sqrt{ - 1}$

que não tem raízes em R.

S = {-3, 3}

b)

x⁴.4 = 3x² =>

4(x²)² - 3x² = 0

Fazendo x² = y e substituindo na equação acima, temos

4y² - 3y = 0

y(4y - 3) = 0

Logo

y = 0

ou

4y - 3 = 0 =>

4y = 3 =>

Y = 3/4

Assim

${x}^{2} = 0 = > x = + ou - \sqrt{0} = 0$

${x}^{2} = \frac{3}{4} = > x = + ou - \sqrt{ \frac{3}{4} }$

$S = ( - \sqrt{ \frac{3}{4} }. \: \: 0. \: \: \sqrt{ \frac{3}{4} } )$

c)

x⁴ - 16X² = 0

Fazendo X² = y e substituindo na equação dada, temos

y² - 16y = 0

y(y - 16) = 0

y = 0

ou

y - 16 = 0 => y = 16

Assim

${x}^{2} = 0 = > x = + ou - \sqrt{0} = 0$

${x}^{2} = 16 = > x = + ou - \sqrt{16} = > x = + ou - 4$

S = {-4, 0, 4}

Answer 2

As soluções das equações biquadradas são:

a) S = {-3, 3}

b) S = {-√3/2, 0, √3/2}

c) S = {-4, 0, 4}

d) S = {-2, 2}

Equações do segundo grau

As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Para encontrar as raízes dessas equações, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara, dada por:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\Delta=b^2-4ac$

Uma equação biquadrada pode ser resolvida através de uma equação quadrática onde y = x²:

a) x⁴ - 8x² - 9 = 0

y² - 8y - 9 = 0

Δ = (-8)² - 4·1·(-9)

Δ = 100

y = [8 ± √100]/2·1

y = [8 ± 10]/2

y' = 9

y'' = -1

Substituindo os valores de y:

x² = 9

x = ±3

x² = -1 (inexistente no conjunto R)

b) x⁴·4 = 3x²

4·y² = 3y

4y² - 3y = 0

y(4y - 3) = 0

y' = 0

y'' = 3/4

Substituindo os valores de y:

x² = 0

x = 0

x² = 3/4

x = ±√3/2

c) x⁴ - 16x² = 0

y² - 16y = 0

y(y - 16) = 0

y' = 0

y'' = 16

Substituindo so valores de y:

x² = 0

x = 0

x² = 16

x = ±4

c) x⁴ - 8x² + 16 = 0

y² - 8y + 16 = 0

Δ = (-8)² - 4·1·16

Δ = 0

y = [8 ± √0]/2·1

y = [8 ± 0]/2

y' = y'' = 4

Substituindo os valores de y:

x² = 4

x = ±2

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