Question

06. (UEMT) Dada a circunferência C da equação (x - 1)2 + y2 = 1 e considerando o ponto
P(2, 1), então as retas tangentes a C passando por P:
a) Têm equações y = 1 e x = 2.
b) não existem pois P é interno a C.
c) são ambas paralelas à reta y =1
d) Têm equações y = 1 (e só uma porque P está em C).
c) Têm equações x = 1 e y = 2.

Answer 1

Resposta:

Alternativa A)

Explicação passo-a-passo:

Fórmulas que vão ser usadas:

1. Distancia entre pontos : $D^{2} = (x1-x2)^{2} + (y1-y2)^{2}$
2. Distancia entre ponto e reta: ║$\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^{2}+ b^{2} } }$║  (essa usaremos apenas para checar a resposta, mas não é necessária para a resolução).
3. Equação da circunferência: $(x-xc)^{2} + (y-yc)^{2}$    
4. Equação da reta: $ax+by+c=0$

Primeiro, vemos que a questão pergunta quais as retas que são tangentes à circunferência C e que também passam pelo ponto P. Analisando as alternativas, vemos que a letra C já está incorreta, pois retas paralelas passam por pontos distintos, e queremos aquelas que passem por um único ponto P e tangencie C.

Utilizando a equação da circunferência dada no enunciado, $(x-1)^{2} + y^{2} =1$,e analisando a equação reduzida de uma circunferência geral, descobrimos que estamos tratando de uma circunferência com ponto central em C(1,0) e de raio 1.

Agora, utilizando a fórmula da distancia entre pontos, calculamos a distancia entre o ponto central da circunferência C(1,0) e o ponto P(2,1), para que, analisando com o raio de C,  dizer se o ponto é interno, pertencente ou externo à circunferência.

Distancia entre C e P:

$d^{2}= (1-2)^{2}+(0-1)^{2} \\d^{2} = 1+1 \\d=\sqrt{2}$

Relacionando com o raio, que é 1, vemos que o ponto é externo à circunferência, pois $\sqrt{2}$≅ 1,4. Portanto, eliminamos as alternativas b) e d). Ficando apenas com a) e e).

Vemos que essas ultimas alternativas fornecem equações de retas, logo basta descobrir qual dessas fornecem retas que passam pelo ponto P. Vamos analisar as retas da alternativa a)

Em a), a reta $y=1$ passa por P, pois é uma reta que coincide com a ordenada do ponto. Ou seja, é uma reta que "sai" do número 1 do eixo y e segue pra direita e para a esquerda, logo passa por P. De forma análoga, a reta $x=2$ também passa pelo ponto P, pois é uma reta que "sai" do número  2 do eixo x e segue para cima e para baixo, logo passa por P. (OLHAR ANEXO 1)

Em e), vemos que as retas nem passam pelo ponto P, logo nossa resposta já é a alternativa A).

ATENÇÃO! Agora eu vou demonstrar que essas retas realmente são as corretas, pois também tangenciam a circunferência, mas se fosse em uma prova, você já poderia responder a alternativa a) sem medo de errar para não perder muito tempo.

Para que retas tangenciem uma circunferência, é necessário que a distancia entra a reta e o ponto central da circunferência seja igual ao seu raio.

Primeiro, vamos colocar essas retas na forma geral de uma reta: $ax+by+c=0$

(Reta x=2) ⇒ 1.x+0.y-2=0 ⇒ a=1 ; b=0 ; c= -2

(Reta y=1)⇒0.x+1.y-1=0 ⇒ a=0 ; b=1 ; c= -1

Ponto C(1,0)

Utilizando a fórmula da distancia entre um ponto e uma reta :║$\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^{2}+ b^{2} } }$║

Obs: Esses 2 tracinhos são para representar o módulo, ou seja, mesmo que o cálculo resulte em um número negativo, o resultado será positivo.  

Lembrando que a distancia deve ser igual a 1 para se igualar com o raio :

Reta x:

$\frac{1.1+0.0-2}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} } } = \frac{-1}{1} = -1$  

Como é em módulo, a distancia é 1,que é igual ao raio e, portanto, é uma reta que tangencia a circunferência

Reta y:

$\frac{0.1+1.0-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2} } } = \frac{-1}{1} = -1$

Novamente em módulo, a distancia é de 1, que também é igual ao raio, logo essa reta também tangencia a circunferência.

ANEXO