06. Se x²-x-1 é um dos fatores da fatoração de mx³ + nx² +1
com m e n inteiros, então, n + m é igual a:
a) -2.
b) -1.
C) 0.
d) 1.
e) 2.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Se x²-x-1 é um dos fatores da fatoração de mx³ + nx² +1
mx³+ nx²+ 1 é divisível por x²– x – 1,
mx³ + nx² + 1 |_x² -x -1____
-mx³+mx²+mx + 1 mx + (m+n)
------------------------------
(m+n)x² + mx + 1
-( m+n)x²+ (m+n)x +(m+n)
---------------------------------------------------
(2m+n)x (m+n+1) = 0x + 0, ∀x
2m+ n+0
m+n = -1
Sistema adição
2m + n = 0
-m - n= 1
-----------------
m=1
Sendo
m+n= - 1
1 +n = - 1
n= - 1 - 1
n= - 2
Logo
m+n= 1 - 2= - 1
Letra B
-------------------------------------------
Outro modo
mx³ + nx² + 1 = (x² – x – 1) (mx + b)
mx³ + nx² + 1 = mx³ + bx² – mx² – bx – mx – b
mx³ + nx² + 1 = mx³ + (b – m)x² – (b + m)x – b
Assim comparando
m = m
b – m = n
b+m=0
-b=1
Assim
b - m = n
como b=-1
-1 = m + n
m+n= -1
O valor m + n é igual a -1, o que torna correta a alternativa b).
Pelo enunciado, temos que x² - x - 1 é um dos fatores da fatoração do polinômio mx³ + nx² + 1. Assim, podemos reescrever esse polinômio como sendo produto de (x² - x - 1)*(ax + b) = mx³ + nx² + 1.
Aplicando a propriedade distributiva, temos ax³ + bx² - ax² - bx - ax - b. Agrupando os termos de mesmo grau, temos ax³ + (b - a)x² - (b + a)x - b, e essa expressão é igual a mx³ + nx² + 1.
Observando os termos de mesmo grau, temos que a = m, (b - a) = n, e - b = 1. Assim, podemos concluir que b = -1.
Como b = -1, e o coeficiente do termo x do segundo polinômio é zero, temos que (b + a) = 0. Substituindo b, temos que (-1 + a) = 0, ou a = 1.
Por fim, observando os dois polinômios novamente, temos que (b - a) = n, e a = m.
Com isso, n = (-1 -1) = -2, e m = 1. Portanto, o valor m + n = 1 + (-2) = -1, o que torna correta a alternativa b).
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