Question

06- Qual é a distancia focal da hipérbole de equação 4x² - 5y² = 80?

a)12
b)8
c)6

Answer 1

Temos a seguinte equação hiperbólica:

$\sf 4x {}^{2} - 5y {}^{2} = 80$

Essa equação está em sua forma geral, portanto teremos que fazer a conversão de geral para reduzida, ou seja, dividir todos os termos pelo número que se encontra depois da igualdade.

$\sf \frac{4x {}^{2} }{80} - \frac{5y {}^{2} }{80} = \frac{80}{80} \\ \\ \ast \: \sf \frac{x {}^{2} }{20} - \frac{y {}^{2} }{16} = 1$

Essa expressão em sua forma reduzida e equivalente a essa equação padrão:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Fazendo a comparação dos termos das duas fórmulas:

$\begin{cases}\sf a {}^{2} = 20 \\ \sf a = \sqrt{20} \\ \sf a = \sqrt{4.5} \\ \sf a = 2 \sqrt{5} \end{cases} \: \: \begin{cases} \sf b {}^{2} = 16 \\ \sf b = \sqrt{16} \\ \sf b = 4 \end{cases}$

Substituindo na relação pitagórica:

• (Obs: a relação será diferente da qual usávamos na elipse).

$\sf c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = (2 \sqrt{5} ) {}^{2} + 4 {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 2 {}^{2} .5 + 16 \\ \sf c {}^{2} = 20 + 16 \\ \sf c {}^{2} = 36 \\ \sf c = \sqrt{36} \\ \boxed{ \sf c = 6}$

A distância focal é 2c, portanto:

$\sf d = 2c \\ \sf d = 2.6 \\ \boxed{\sf d = 12} \leftarrow \sf resposta$

Espero ter ajudado