Question

05. Se alfa é um arco do primeiro quadrante tal que tg alfa = 1+x/2 e sec alfa = √x+2, determine x.

Answer 1

sec(α) =√(x+2)  ==>1/cos(α)=√(x+2)  ==>cos(α) =1/√(x+2)

tg(α) =(1+x)/2  ==>sen(α)/cos(α) = (1+x)/2 ==>sen(α)=cos(α)* (1+x)/2

sen(α)= 1/√(x+2)   * (1+x)/2 = (1+x)/2√(x+2)

Usando a relação fundamental da trigonometria

sen²(α) + cos²(α) =1

[  (1+x)/2√(x+2) ]² +[ 1/√(x+2) ]² =  1

(1+x)²/4(x+2)  +1/(x+2) =1

(1+x)² +4 =4(x+2)

1+2x+x²+4=4x+8

x²-2x-3=0

x'=[2+√(4+12)]/2 =(2+4)/2= 3

x''=[2-√(4+12)]/2 =(2-4)/2= -1

Verificando

para x= 3 ==>tg(α) =(1+x)/2  =(1+3)/2=2 >0

 e cos(α) =1/√(x+2) ==> cos(α) =1/√(3+2)  > 0    ==> 1° quadrante

para x=-1  ==>tg(α) =(1-1)/2  = 0 , não serve, não está localizado no quadrante ==>1ª quadrante  0° <  α < 90°

Resposta x=3