Question

05) (M10014717) Para canalizar um córrego de águas pluviais, serão utilizadas galerias de concreto abertas
e idênticas. O formato do perfil da abertura dessas galerias é uma parábola equivalente à curva gerada
pelos pontos em que a função f(x) = x2 - 2x - 3 possui imagens negativas, sendo x medido em metros. A
figura abaixo representa o formato de uma dessas galerias em um sistema cartesiano.
Perfil da abertura da galeria
y
Altura da galeria
0,5 m:
Qual é a medida, em metros, da altura dessas galerias?
A) 0,5 m.
B) 1,5 m.
C) 2,5 m.
D) 3,5 m.
E) 4,5 m.​

Answer 1

A altura total da galeria será de 4,5 metros. Letra e).

Anexei a figura da questão no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Temos a função:

y = f(x) = x² - 2x - 3

Os coeficientes dela são:

• a = 1;
• b = -2;
• c = -3.

Pela figura vemos que a altura do perfil da galeria equivale exatamente à altura mínima atingida pela parábola. Esse ponto é denominado vértice da parábola. Para ele, podemos encontrar seu valor y (chamado de Y do vértice = Yv) pela fórmula:

Yv = -Δ/4a

Substituindo os coeficientes que encontramos anteriormente:

$Y_V = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = \frac{-[(-2)^2 - 4*1*(-3)]}{4*1} = \frac{-(4 + 12)}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

O valor negativo indica justamente que esse ponto está abaixo no eixo-Y. Deste modo, a altura total da galeria será:

H = Yv + 0,5 = 4 + 0,5 = 4,5m

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Answer 2

A medida, em metros, da altura dessas galerias é de 4,5 metros (alternativa E).  

A questão dá a seguinte função:

f(x) = $x^{2}$- 2x - 3

y = f(x)

Sabendo qual é a função, vamos separar os coeficientes da mesma, em que:

a = 1

b = - 2

c = - 3

Além disso, na questão se fala:

Perfil da abertura da galeria = y

Altura da galeria = 0,5 metros

A altura da galeria é equivalente à altura mínima atingida pela parábola. E, com isso, vamos denominar esse ponto como sendo o vértice da parábola.

O Yv (Y do vértice) é encontrado pela seguinte equação/fórmula:

Yv = - Delta / 4*a

Lembrar que Delta é calculado como:

$b^{2}$ - 4ac

Com isso, sabendo como é calculado o Delta e conhecendo os coeficientes, vamos substituir na fórmula:

Yv = - [$(-2)^{2}$ - 4 * 1 * (-3)] / 4 * 1

Yv = - 12 - 4 / 4

Yv = - 4

Lembrar que o Yv está negativo pelo fato de que está indicando está abaixo do eixo.

Para descobrir a altura, agora é só fazer:

H = Yv + 0,5

H = 4 + 0,5

H = 4,5

Portanto, a altura dessas galerias é de 4,5 metros.

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