Question

04) Resolva as equações, sabendo que x = 1 é raiz de cada uma delas. a) x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 b) x³ − 9x + 23x − 15 = 0 c) x³ − 2x² − x+ 2 = 0

Answer 1

a) Se 1 é raiz, o polinômio é divisível por x - 1. Então, aplicando Briot Ruffini, temos:

1     |        1       -6      11      -6
       |        1       -5        6      |_0 _|

Esses dois pauzinhos aí, na verdade é um traço vertical depois da raiz.
Tentei separar o último resultado, ou seja, o zero, pois ele é o resto da divisão.
Os números que estão na primeira linha depois do traço, são os coeficientes do polinômio.
Os números da segunda linha são obtidos assim:
-abaixa o primeiro nº;
-multiplica o nº que você abaixou pela raiz, que é o que está antes do traço, e soma com o próximo coeficiente que, neste caso, é o -6;
-coloca esse resultado debaixo do 2º coeficiente;
-esse resultado, no caso o -5, você multiplica pela raiz e soma com o próximo coeficiente, que é o 11;
-coloca esse resultado, que no caso deu 6, debaixo do 11;
-vai repetindo o processo até terminar.

Os números obtidos são os coeficientes de um polinômio de um grau menor. Então agora você tem uma equação do 2º grau que pode ser resolvida normalmente:
x ao quadrado -5x + 6 = 0
delta = b ao quadrado - 4ac
Δ = (-5)² - 4.1.6 = 25 - 24 = 1
x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-(-5) +- √1) / 2.1 = (5 +- 1) / 2
x' = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2
x" = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3

Portanto, S = {1, 2 , 3}

b)  Se o 2º termo for -9x² , fica:

1    |       1      -9      23      -15
      |       1      -8      15         0

x² - 8x + 15 = 0
Δ = (-8)² - 4.1.15 = 64 - 60 = 4
x = (-(-8) +- √4)/ 2.1
= (8 +- 2) / 2
x' = (8 - 2) / 2 = 6/2 = 3
x" = (8 + 2) / 2 = 10/2 = 5

Portanto, S = {1, 3, 5}

c)   1    |       1      -2      -1      2
            |       1      -1      -2      0

x² - x - 2 = 0
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9
x = (-(-1) +- √9) / 2.1 = (1 +- 3) / 2
x' = (1 - 3) / 2 = -2/2 = -1
x" = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2

Portanto, S = {-1, 1, 2}