Question

04. Matemática - Ajudem ?

Answer 1

$\left[\begin{array}{cc}1&5\\2&12\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}5&-2\\-7&3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}6&3\\-5&15\end{array}\right]$

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para escrever a matriz resultante de: XY + X⁻¹, sabendo-se que:

X = |3...2|
......|7...5|
e
Y = | 1...1|
......|-1...1|

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos calcular o produto entre a matriz X e a matriz Y, encontrando a matriz resultante (XY). Assim teremos:

XY = |3...2|*| 1...1| = |3*1+2*(-1)...3*1+2*1| = |3-2...3+2| = |1.....5|
..........|7...5|*|-1...1| = |7*1+5*(-1)...7*1+5*1| = |7-5...7+5| = |2...12|

 Pronto. Como você viu, a matriz XY é a que encontramos aí em cima, ou seja, é:

|1.....5|
|2...12|

ii) Agora vamos calcular a matriz X⁻¹ (que é a matriz inversa da matriz X).
Chamaremos a inversa da matriz X de:

|a....b|
|c....d|.

Veja que se multiplicarmos uma matriz pela sua inversa, iremos encontrar a matriz identidade. Então se multiplicarmos a matriz X pela sua inversa, deveremos igualar à matriz identidade da mesma ordem. Assim, fazemos:

| 1....1|*|a...b| = |1...0|
|-1....1|*|c...d| = |0...1| --- efetuando o produto e igualando cada elemento ao correspondente elemento da matriz identidade, ficamos assim:

3a + 2c = 1    . (I)
3b + 2d = 0    . (II)
7a + 5c = 0    . (III)
7b + 5d = 1    . (IV).

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos  a expressão (I) por "5" e multiplicaremos a expressão (III) por "-2". Em seguida, somaremos, membro a membro, as duas expressões. Assim, teremos:

15a + 10c = 5 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "5"]
-14a - 10c = 0 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]
-------------------------- somando membro a membro, temos:
a + 0 = 5 --- ou apenas:
a = 5 <---- Este é o valor do elemento "a" da inversa da matriz X.

Agora, para encontrar o valor do elemento "c", vamos em uma das expressões utilizadas [ou a (I) ou a (III)] e, em uma delas, substituiremos o valor do elemento "a" por "5" e encontraremos o elemento "c".
Vamos na expressão (III), que é esta:

7a + 5c = 0 ---- substituindo-se "a" por "5", teremos:
7*5 + 5c = 0
35 + 5c = 0
5c = - 35
c = - 35/6
c = - 7 <--- Este é o valor do elemento "c" da inversa da matriz X.

Agora vamos para as expressões (II) e (IV). Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "5" e a expressão (IV) por "-2" e faremos o mesmo que fizemos anteriormente. Assim:

15b + 10d = 0 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "5"]
-14b - 10d = -2
----------------------- somando membro a membro, teremos:
b  + 0 = - 2 --- ou apenas:
b = - 2 <--- Este é o valor do elemento "b" da inversa da matriz X.

Agora, para encontrar o valor do elemento "d", vamos em uma das expressões utilizadas [ou (II) ou na (IV)]. Vamos na expressão (II), que é esta:

3b + 2d = 0 ---- substituindo "b" por "-2", teremos:
3*(-2) + 2d = 0
-6 + 2d = 0
2d = 6
d = 6/2
d = 3 <--- Este é o valor do elemento "d" da inversa da matriz X.

Assim, a inversa da matriz X, que será a matriz X⁻¹, será esta:

X⁻¹ = |a...b|
........|c...d| <--- substituindo cada elemento por seus valores encontrados acima, teremos:

X⁻¹ = |5...-2|
........|-7....3|

iii) Finalmente, vamos ao que está sendo pedido, que é:

XY + X⁻¹ = |1....5| + |5...-2| = |1+5.....5-2| = |6......3|
...................|2..12| + |-7...3| = |2-7...12+3| = |-5...15| <--- Esta é a resposta.

Veja que a resposta correta, dentre as opções dadas, é a resposta da opção "e".

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.