Question

04. Encontre o período de:
a) y = -3 + 2.sen( -6x + 7/3 )​

Answer 1

Vamos, primeiro, ver um pouco sobre as senoides com alguns exemplos que poderão ajudar a esclarecer outras possíveis duvidas que apareçam e, posteriormente, passamos ao exercício.

Uma senoide (função seno ou cosseno), de forma geral, pode ser escrita na forma:

$\boxed{f(x)~=~a\,.\,sen(w.x+\theta)+b}~~~~ou~~~~\boxed{f(x)~=~a\,.\,cos(w.x+\theta)+b}$

No modelo, temos:

$\rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\\\rightarrow~b:~Offset,~graficamente, ~vemos~um~"deslocamento"~vertical~da\\~~~~~~~~~~funcao~em~relacao~ao~eixo~"x"\\\\\\\rightarrow~\theta:~Fase,~graficamente,~vemos~um~"deslocamento"~horizontal~da\\~~~~~~~~~~~funcao~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\\\rightarrow~w:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~''T''~por:\\~~~~~~~~~~~~\boxed{T~=~\frac{2\pi}{w}}$

Vamos aos exemplos, considere a figura 1 (anexada) com as interpretações gráficas das senoides dadas abaixo.

(a)

--> f(x) = 2.sen(x)

--> Essa função tem a = 2, ou seja, sua amplitude será o dobro da original.

--> No gráfico 1, em preto f(x)=sen(x) e em azul f(x)=2sen(x)

(b)

--> f(x) = sen(x) + 2

--> Essa função tem b = 2, ou seja, teremos um deslocamento vertical de duas unidade para cima (em relação ao eixo x).

--> No gráfico 2, em preto f(x)=sen(x) e em verde f(x)=sen(x)+2

(c)

--> f(x) = sen(2x)

--> Essa função tem p = 2, ou seja, um período modificado para T=2π/2=π.

--> No gráfico 3, em preto f(x)=sen(x) e em roxo f(x)=sen(2x)

(d)

--> f(x) = sen(x+3π/2)

--> Essa função tem θ = 3π/2, ou seja, teremos um deslocamento horizontal de valor 3π/2 para esquerda (em relação ao eixo y).

--> No gráfico 4, em preto f(x)=sen(x) e em rosa f(x)=sen(x+3π/2)

(e)

--> f(x) = 2sen(x/2-π/4)-1

--> Essa função tem a = 2, ou seja, sua amplitude será o dobro da original.

--> Essa função tem b = -1, ou seja, teremos um deslocamento vertical de uma unidade para baixo (em relação ao eixo x).

--> Essa função tem p = 1/2, ou seja, um período modificado para

T=2π/(1/2)=4π.

--> Essa função tem θ = -π/4, ou seja, teremos um deslocamento horizontal de valor π/4 para direita (em relação ao eixo y).

--> No gráfico 5, em preto f(x)=sen(x) e em vermelho f(x)=2sen(x/2-π/4)-1

Podemos então finalmente passar para o exercício proposto.

Neste exercício estamos preocupados apenas com o período da senoide, ou seja, seguindo o modelo, precisamos observar a frequência angular (ω).

A frequência angular nesta função vale 6.

Perceba que só utilizamos o modulo de ω, não podemos ter uma frequência (ou período) negativo.

O período ''T'' será de:

$T~=~\dfrac{2\pi}{6}~=~\boxed{\dfrac{1}{3}\pi}$

O gráfico desta função pode ser conferido na Figura 2, em azul.