Question

04) Considere um triângulo ABC em que
uma circunferência está inscrita. Nesta
circunferência, P, Q e R são os pontos de
tangência aos lados AB, BC e CA, respec-
tivamente. Se BQ = 80 mm, CR = 120 mm
e AP = 60 mm, determine as medidas dos
lados deste triângulo e o seu perímetro.​

Answer 1

As medidas dos lados deste triângulo são 120, 160 e 240 mm. O seu perímetro é 520 mm.

Observe o que diz a seguinte definição:

Considere que temos um ponto P exterior à circunferência. Traçando os segmentos PA e PB tangentes à circunferência nos pontos A e B, podemos afirmar que PA = PB.

Como P, Q e R são pontos de tangência entre a circunferência e o triângulo ABC, então é correto que AP = AR, BP = BQ e CQ = CR.

Do enunciado, temos que BQ = 80 mm, CR = 120 mm e AP = 60 mm.

Logo, AR = 60 mm, BP = 80 mm e CQ = 120 mm.

Observe que os lados do triângulo são:

• AB = AP + BP

• AC = AR + CR

• BC = BQ + CQ.

Portanto, os lados do triângulo são:

• AB = 120 mm
• AC = 240 mm
• BC = 160 mm.

Sabemos que perímetro é igual à soma de todos os lados de uma figura.

Logo, o perímetro do triângulo ABC é:

2P = 120 + 240 + 160

2P = 520 mm.

Answer 2

Resposta:

    Lados:  AB  =  140 mm,   AC =  180 mm  e  BC  =  200 mm

.    Perímetro  =  520 mm

Explicação passo-a-passo:

.

.   Triângulo ABC circunscrito a uma circunferência  (ou circun-

.    ferência inscrita no triangulo ABC).

.

.    Como o triângulo está circunscrito, seus lados são tangentes

.    a circunferência.

.    Pontos de tangência:  P,  Q  e  R,  sendo:

.    P  ao lado AB,  Q ao lado BC  e  R ao lado AC

.    

.    Os vértices (do triângulo) A,  B  e  C  são exteriores à circun-

.    ferência

.

.    Dados:  AP = 60 mm,   BQ = 80 mm  e  CR = 120 mm

.

.    Pelo Teorema das Cordas, temos:

.    AP  =  AR  =  60 mm..=>  AC  =  AR  +  CR

.                                               AC  =  60 mm + 120 mm

.                                               AC  =  180 mm

.

.    BQ  =  BP  =  80 mm..=>  AB  =  AP  +  BP

.                                               AB  =  60 mm + 80 mm  

.                                               AB  =  140 mm

.

.    CR  = CQ  = 120 mm..=>  BC  =  BQ  +  CQ

.                                               BC  =  80 mm + 120 mm  

.                                               BC  =  200 mm

.

PERÍMETRO DE ABC  =   AB  +  AC  +  BC

.                                      =   140 mm  +  180 mm  +  200 mm

.                                      =   520 mm

.

(Espero ter colaborado)