Question

04.Considere a função real f definida por f(x)=(x+1)/(2x+m) e sua inversa f^(-1). Se f^(-1) (2)=5, o valor de m é:

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Vamos começar transformando f(x) em inversa, para isso vamos trocar inicialmente f(x) por "y".:

$f(x) = \frac{x + 1}{2x + m} \\ \\ y = \frac{ x+ 1}{2x + m}$

Agora troque "y" por "x" e "x" por "y", após isso multiplique cruzado:

$x = \frac{y + 1}{2y + m} \\ \\x. (2y + m) = y + 1 \\ 2xy + mx = y + 1 \\ 2xy - y = 1 - mx \\ y.(2x - 1) = 1 - mx \\y = \frac{1 - mx}{2x - 1}$

Trocando pelo símbolo de inversa:

$\boxed{f {}^{ - 1} (x) = \frac{1 - mx}{2x - 1}}$

A questão nos fala que quando o valor de "x" da inversa é igual a 2, o resultado é igual a 5, então vamos fazer isso, substituir no local de "x" o valor 2 e depois igualar a 5.

$f {}^{ - 1} (2) = 5 \\ \\ f {}^{ - 1} (x)= \frac{1 - mx}{2x - 1} \\ \\ f {}^{ - 1} (2) = \frac{1- m.2}{2.2 - 1} \\ \\ f {}^{ - 1} (2) = \frac{1 - 2m}{4 - 1} \\ \\ f {}^{ - 1} (2) = \frac{1 - 2m}{3} \\ \\ \frac{1 - 2m}{3} = 5 \\ \\ 1 - 2m = 5.3 \\ \\ 1 - 2m = 15 \\ \\ - 2m = 15 - 1 \\ \\ - 2m = 14.( - 1) \\ \\ 2m = - 14 \\ \\ m = \frac{- 14}{2} \\ \\ \boxed{m = - 7}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️