Question

03) Utilizando a fórmula encontre a distância entre o ponto P(-2,5) e a reta r, de equação 5x + 2y + 29 = 0

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos que a fórmula da distância entre ponto e a reta é:

$\boxed{d = \frac{ |ax _0 \: \: + \: \: by_0 + \: \: c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }$

Vamos identificar os valores de a, b, c, x e y.

O valor de x e y é dado pela Abscissa e Ordenada do ponto P.

$\boxed{P(-2,5) \rightarrow x = - 2, \: \: y = 5}$

Os valores de a, b e c são os coeficientes da equação geral da reta, ou seja:

$5x + 2y + 29 = 0 \\ \begin{cases} a = 5 \\ b =2 \\ c = 29 \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$d = \frac{ |ax _ 0 + by_0 + c | }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ |5.( - 2) + 2.5 + 29| }{ \sqrt{5 {}^{2} + 2 {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ | \cancel{ - 10 + 10 }+ 29| }{ \sqrt{25 + 4} } \\ \\ d = \frac{29}{ \sqrt{29} }$

Racionalizando:

$\frac{29}{ \sqrt{29} } . \frac{ \sqrt{29} }{ \sqrt{29} } = \frac{29 \sqrt{29} }{ \sqrt{841} } = \frac{29\sqrt{29} }{29} = \boxed{\sqrt{29} \: u.c}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

d = I ax + by + c I

     ----------------------

        √  a² + b²

d =  I 5 . ( -2) +  2 . 5  + 29 I

      ----------------------------------

             √ 5² +  2²

d = I -10 + 10 + 29 I

     ------------------------

          √ 25 + 4

d = I 29 I / √ 29

d=  29     √29        29 √ 29

     -----   . ------   = -------------      = √ 29

    √29     √29            29