Question

03. (PUC) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4
pontos sobre outra reta paralela a r. O número de
triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é
a) 60
b) 35
c) 30
d) 9
e) 7

Answer 1

Uma questão bem criativa, primeiramente devemos pensar passo a passo:

1) Quantos vértices um triângulo precisa? Um triângulo tem exatamente 3 vértices;

2) Sendo assim devo escolher exatamente três pontos, porém nem todos colineares (alinhados), preciso escolher 2 pontos em uma reta e 1 ponto em outra;

3) Será que a ordem faz diferença? Não, o triângulo ΔABC e ΔCBA são o mesmo, logo estamos lidando com combinação;

4) Chamearemos de s a reta paralela a r;

5) Podemos começar a calcular;

i) Primeiro vou escolher 2 pontos em r e em seguida 1 ponto em s:

C2,4*C1,3= [4!/((4-2)!*2!)]*[3!/((3-1)!*1!)]=4*3=12

ii) Agora dois pontos em s e um em r;

C1,4*C2,3= [4!/((4-1)!*1!)]*[3!/((3-2)!*2!)]=4*3=12

iii) Somando:

12+18=30

R: 30 triângulos, letra c;

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Aluno(a)}}}}}$

São 3 pontos sobre uma reta R  e 4 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 7 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :

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Fórmula :

Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!

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C₇,₃ = 7!/3!(7-3)!

C₇,₃ = 7!/3!*4!

C₇,₃ = 7*6*5*4!/3!*4!

C₇,₃ = 7*6*5/3*2

C₇,₃ = 210/6

C₇,₃ = 35

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35 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 3 pontos , ou seja , temos que retirar  os pontos que não formam triângulos , de 3 e 4 pontos.

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N = C₃,₃ + C₄,₃

N = 3!/3!(3-3)! + 4!/3!(4-3)!

N = 3!/3! + 4!/3!

N = 1 + 4*3!/3!

N = 1 + 4

N = 5

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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 3 e 4 pontos temos :

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N = 35 - 5

N = 30

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Portanto existem 30 triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Espero ter ajudado!