Question

03. O período e a imagem da função f(x) = 8 . sem x . cos x correspondem, respectivamente, a​

Answer 1

Utilizando a relação do seno da soma de dois arcos, podemos reescrever a função dada para facilitar a análise.

$\sf \left(~\sf Lembrando: sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)~\right)$

$\sf f(x)~=~8\cdot sen(x)\cdot cos(x)\\\\f(x)~=~4\cdot 2\cdot sen(x)\cdot cos(x)\\\\f(x)~=~4\cdot \left(~sen(x)\cdot cos(x)~+~sen(x)\cdot cos(x)~\right)\\\\f(x)~=~4\cdot sen(x+x)\\\\\boxed{\sf f(x)~=~4sen(2x)}$

Vamos lembrar agora que as senoides são dadas na forma:

$\boxed{\sf f(x)~=~a\cdot cos(\omega.x+\theta)+b}$

Neste modelo, temos:

$\sf\rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\rightarrow~b:~Offset,~graficamente, ~vemos~um~"deslocamento"~vertical~da\\~~~~~~~~~~funcao~em~relacao~ao~eixo~"x"\\\\\rightarrow~\theta:~Fase,~graficamente,~vemos~um~"deslocamento"~horizontal~da\\~~~~~~~~~~~funcao~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\rightarrow~\omega:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~''T''~por:~\boxed{T~=~\frac{2\pi}{\omega}}$

Na função dada, temos:

$\boxed{\begin{array}{ccc}\sf a&\sf =&\sf 4\\\sf b&\sf =&\sf 0\\\sf \theta&\sf =&\sf 0\\\sf \omega&\sf =&\sf 2\end{array}}$

Utilizando a relação mostrada anteriormente entre a frequência angular e o período:

$\sf T~=~\dfrac{2\pi}{2}~~\Rightarrow~\boxed{\sf T~=~\pi~radianos}$

A imagem da função será o intervalo entre seu valor mínimo e valor máximo. O valor mínimo é dado pelo diferença entre o Offset e a amplitude, e o valor máximo, pela soma entre estes valores.

$\sf Valor~minimo~=~b-a\\\\\sf Valor~minimo~=~0-4\\\\\boxed{\sf Valor~minimo~=\,-4}\\\\\\Valor~maximo~=~b+a\\\\\sf Valor~maximo~=~0+4\\\\\boxed{\sf Valor~maximo~=~4}$

Imagem: [-4, 4]

Resposta: Não há alternativa correspondente.