Question

03. (MACK) 7 círculos deverão ser pintados com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040

Answer 1

O primeiro círculo será pintado com cor de livre escolha. Assim, para o primeiro círculo, há 4 possibilidades de cor.

Definida a cor do primeiro círculo, a cor do segundo deve ser diferente da do anterior. Logo, o segundo possui 3 possibilidades.

Para o terceiro, como ele deve ser diferente apenas do círculo anterior, ele tem 4-1=3 opções de cor.

Pintar os círculos seguintes terá o mesmo raciocínio dos segundo e terceiro círculos. Assim, cada um dos restantes terá 3 possibilidades. Assim o número total de formas de se pintar os círculos (n) é:

$n=\underbrace{4}_{1^o}\times\underbrace{3}_{2^o}\times\underbrace{3}_{3^o}\times\underbrace{3}_{4^o}\times\underbrace{3}_{5^o}\times\underbrace{3}_{6^o}\times\underbrace{3}_{7^o}\\\\ n=4\times3^6\\\\ n=4\times729\\\\ \boxed{n=2916}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{D}.$