Question

.03 – Deseja-se formar números de 4 dígitos distintos com os algarismos 1, 2, 5, 7, 8 e 9.

a) Quantos números nesse formato descrito acima são menores que 5300?

Resposta:

Para o número formado, com 4 dígitos distintos, ser menor que 5300 temos dois casos a resolver. O primeiro caso, que o número formado começa com 1 ou com 2. Nesse caso, qualquer número que venha após o 1 ou 2 formará um número menor que 5300.

Então temos: na escolha do primeiro algarismo (unidade de milhar) 2 opções (1 ou 2); para o segundo algarismo (milhar) pode ser qualquer um dos 5 algarismos restantes; para o terceiro algarismo (dezena), restam 4 opções e para o quarto algarismo (unidade), restam 3 opções.

Assim, o total de números nesse formato é igual a 2.5.4.3 = 120.

No segundo caso, temos ainda a possibilidade do número começar com o algarismo 5. Para isso, o algarismo que deve ocupar a casa do milhar deve ser 1 ou 2, para que o número seja menor que 5300.

Então temos: o primeiro algarismo tem que ser o 5 (fixo, ou seja 1 opção); para o segundo algarismo (milhar) temos 2 opões (1 ou 2); no terceiro algarismo (dezena) temos 4 opções e para último algarismo (unidade) temos 3 opções.

Assim, o total de números nesse formato é igual a 1.2.4.3 = 24.

Juntando os dois casos, temos um total de 120 + 24 = 144 números de 4 dígitos distintos menores que 5300, utilizando somente os algarismos 1, 2, 5, 7, 8 e 9.



b) Quantos números nesse formato descrito acima são ímpares?

Resposta. 42 Números Ímpares





c) Quantos números nesse formato descrito acima aparece o algarismo 1?

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Answer 1

$\textsf{c)}$

$\textsf{Vamos contar quantos n\'umeros \textbf{\textsf{n\~ao}} tem um algarismo 1. }\\\textsf{E depois vamos subtrair esse n\'umero do total de n\'umeros nesse formato.}$

$\textsf{Temos 5 maneiras de escolher o algarismo das unidades (2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 5 maneiras de escolher o algarismo das dezenas (2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 5 maneiras de escolher o algarismo das centenas (2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 5 maneiras de escolher o algarismo dos milhares (2,5,7,8,9).}\\\textsf{Assim h\'a } \mathsf{5^4} \textsf{ n\'umeros que nesse formato que n\~ao usam o algarismo 1.}$

$\textsf{Agora vamos contar quantos n\'umeros desse formato existem:}\\\textsf{Temos 6 maneiras de escolher o algarismo das unidades (1,2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 6 maneiras de escolher o algarismo das dezenas (1,2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 6 maneiras de escolher o algarismo das centenas (1,2,5,7,8,9).}\\\textsf{Temos 6 maneiras de escolher o algarismo dos milhares (1,2,5,7,8,9).}\\\textsf{Assim h\'a }\mathsf{6^4} \textsf{ n\'umeros desse formato.}$

$\textsf{Portanto h\'a }\mathsf{6^4-5^4 = 1296-625 = 671}\textsf{ n\'umeros nesse formato em que apa-}\\\textsf{rece o algarismo 1.}$