Question

03 - (DANTE, 2011) São dados quatro números x, y, 4, 6, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, determine x e y.

Answer 1

Se os 3 primeiros estão em PA e os 3 últimos em PG, pelas propriedades de PA e PG, temos

$\left \{\dfrac{x+4}{2}=y\quad (I)} \atop {\dfrac{6}{4}=\dfrac{4}{y}\quad (II)}} \right.$

De (II)

$6y=4\cdot 4 \Leftrightarrow y=\dfrac{16}{6}=\boxed{y=\dfrac{8}{3}} \quad\mbox{substituindo em (I)}\\\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{8}{3} \Leftrightarrow 3(x+4)=2\cdot 8 \Leftrightarrow 3x+3\cdot 4=2\cdot 8 \Leftrightarrow 3x=16-12 \Leftrightarrow 3x=4 \boxed{x=\dfrac{3}{4}}$

Answer 2

Os valores de x e y são 4/3 e 8/3, respectivamente.

Se os três primeiros números estão em uma PA de razão r e os três últimos estão em uma PG de razão q, temos que:

PA: x, y, 4

PG: y, 4, 6

4 = y.q

6 = y.q²

Dividindo as equações, temos:

6/4 = y.q²/y.q

q = 6/4

Substituindo q:

4 = y.6/4

y = 4/(6/4)

y = 8/3

Resolvendo a PA:

y = x + r

4 = x + 2r

Subtraindo as equações:

4 - y = r

r = 4 - 8/3

r = 4/3

Resolvendo x:

8/3 = x + 4/3

x = 4/3