Question

03 – Dada a função f de 2° grau, definida por f(x) = x2 – 4x + 3, faça o que se pede. a) Determine as raízes dessa função (que são os valores x' e x'' que tornam a função igual a zero). b) Determine as coordenadas (xv , yv ) do vértice da parábola, que representa o gráfico dessa função. c) Identifique e determine o ponto de interseção entre o gráfico de f e o eixo. d) Faça o desenho do gráfico da função, utilizando os pontos determinados acima (use o plano cartesiano abaixo).
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Answer 1

a)

    $f(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-4x+3=0$

    $x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times1\times3}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4\times3}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{4-2}{2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{4+2}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{6}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=1\;\;\vee\;\;x=3$

Resposta:  $x\in\{1\;;\;3\}$

b) Para calcular o vértice de uma parábola, uma vez que coincidirá com o máximo/mínimo da função, podemos usar a noção de derivada.

A saber: os extremos de uma função são sempre zeros da sua 1ª derivada.

    $f'(x)=(x^2-4x+3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'-(4x)'+(3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x-4=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x-4+0\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x-4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow x=2$

  x   |-∞     | 2 |     ∞          Conclui-se assim que o ponto de

f'(x) |    -    | 0 |    +           abcissa 2 é o vértice da parábola.

 f(x) |  $\searrow$  |min|  $\nearrow$

    $f(2)=2^2-4\times2+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2)=4-8+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2)=-4+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2)=-1$

Resposta: O vértice da parábola tem de coordenadas  (2 ; -1).

c) O(s) ponto(s) em que uma função interseta o eixo Ox nada mais é/são que o(s) zero(s) da função e o ponto em que uma função interseta o eixo Oy é dado por (0 ; f(0)).

Interseção com Ox:                                   Interseção com Oy:

   (1 ; 0)                                                       $f(0)=0^2-4\times0+3=3$

   (3 ; 0)                                                       (0 ; 3)

Resposta: A interseção com Ox dá-se nos pontos (1 ; 0) e (3 ; 0) e a interseção com Oy dá-se no ponto (0 ; 3).

d) Deixo em anexo.

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