Question

03) calcule a área do conjunto de pontos (x, y) tais que x²-1≤y≤x+1


ajuda aí por favor​

Answer 1

Resposta:

$A=\frac{9}{2}\;u.a$

Explicação passo-a-passo:

Vamos inicialmente calcular os pontos de intersecção entre as funções:

$x^2-1=x+1$

$x^2-x-2=0$

$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4*1*(-2)}}{2}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{1\pm3}{2}$

$x\in\{-1,2\}$

Estes serão os limites de integração. No entanto, como estamos trabalhando com área, devemos ter cuidado no caso da função $y=x^2-1$ pois ela assume valores negativos em parte desse intervalo, logo a integral assume um resultado negativo, algo ilógico do ponto de vista de área.

Sendo $\pm1$ as raízes de $y=x^2-1$ , pelo fato dela ser uma função do 2º grau crescente, no intervalo $(-1,1)$ esta função assume valor negativo, logo devemos trabalhar com o módulo da integral nesse intervalo (uma boa forma de ver isso é analisando o gráfico da função).

Dessa forma, de -1 a 1, a área $A_1$ entre as funções é dada por:

$A_1=\int_{-1}^1x+1\;dx+\left | \int_{-1}^1x^2-1\;dx \right |$

De 1 a 2, $x^2-1$ já assume valor positivo, logo podemos calcular a área $A_2$ nesse intervalo da seguinte forma:

$A_2=\int_1^2(x+1)-(x^2-1)\;dx$

Generalizando, a área total é:

$A=A_1+A_2$

$A=\int_{-1}^1x+1\;dx+\left | \int_{-1}^1x^2-1\;dx \right |+\int_1^2-x^2+x+2\;dx$

$A=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^1+\left | \right[\frac{x^3}{3}-x\left]_{-1}^1 \right |+\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x \right]_1^2$

$A=\frac{1^2}{2}+1-\left(\frac{(-1)^2}{2}-1\right)+\left | \frac{1^3}{3}-1-\left(\frac{(-1)^3}{3}+1\right) \right |-\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}+2*2-\left(-\frac{(1)^3}{3}+\frac{1^2}{2}+2\right)$

$A=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+1+\left | \frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1\right |-\frac{8}{3}+2+4+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2$

$A=2+\left | -\frac{4}{3}\right |+\frac{7}{6}$

$A=\frac{9}{2}\;u.a$