Question

02) Uma fábrica deseja produzir uma chapa retangular a partir de uma chapa metálica que tem a forma de um triângulo isósceles. Suponha que A, B e C são os vértices da chapa triangular; que D, E, F e G são os vértices da chapa retangular; e que AB = AC = 4 m e ABC = 60º , conforme ilustra a figura ao lado. Determine:
a) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B.
b) a área S da chapa retangular em função de xo , onde xo é a abscissa do ponto D.
c) as dimensões, em metros, da chapa retangular para que sua área seja máxima.

Answer 1

Letra A:

$\boxed{\boxed{\boxed{\sf - \sqrt{3} }}}$

Cálculo:

$\sf \tg(120 {}^{ \circ} ) \longleftrightarrow - \tg(60 {}^{ \circ} ) \longleftrightarrow - \sqrt{3}$

Letra B:

$\boxed{\boxed{\boxed{\sf S = 2 \sqrt{3} \cdot x_{o} \cdot(2 - x_{o} ) }}}$

Cálculo:

Para calcular-mos o valor de EF, devemos aplicar a regra de sinais.

• Sinais iguais (+)
• Sinais diferentes (-)

$\sf EF = x _{o} \red - ( \red- x_{o}) \\ \sf EF = x_{o} + x_{o} \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf EF = 2x_{o}}}}$

Seja $\sf(\beta ,0)$ a coordenadas do ponto B e O o início da agregação das coordenadas como o triângulo AOB é um retângulo logo AB = 4m, obtemos:

$\sf\cos \big(60 {}^{ \circ} \big) = \cancel{\dfrac{OB}{AB} } \longleftrightarrow \dfrac{ \beta}{4} \\ \\ \\ \sf \cos \big(60 {}^{ \circ} \big) = \frac{ \beta }{4} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\sf \dfrac{1}{2} = \frac{ \beta}{4} }}$

Agora aplicaremos a multiplicação cruzada, onde 1 • 4 e 2 • $\beta$.

$\sf \cancel{1 \cdot} \: 4 = 2 \beta \\ \\ \sf 4 = 2 \beta \\ \\ \sf 2 \beta = 4 \\ \\ \sf \beta = \dfrac{4}{2} \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{ \beta =\sf 2}}}$

De outro modo, o triângulo BDE é retângulo e BE = $\sf 2 - x_{o}$, em razão de B(2, 0) e E($\sf x_{o}$,0) deste modo:

$\sf \tg \big(60 {}^{ \circ} \big) = \dfrac{DE}{ \cancel{BE} } \longleftrightarrow \dfrac{DE}{2 - x_{o} } \\ \\ \\ \sf \dfrac{ \sqrt{3} }{1} = \frac{DE}{2 - x_{o}}$

Agora faremos uma multiplicação cruzada.

$\sf DE \: \: \cancel{\cdot1} = \sqrt{3} \cdot(2 - x_{o}) \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf DE = \sqrt{3} \cdot(2 - x_{o})}}}\longleftarrow\sf Altura \: Da \: Chapa$

Como a chapa tem um formato retangular sua área S em função de $\sf x_{o}$ é cedida por:

$\sf S = EF \cdot DE \\ \\ \sf S = 2 \red{x_{o}} \cdot \sqrt{3} \cdot(2 - x_{o}) \\ \\ \sf\boxed{\boxed{\boxed{\sf S = 2 \sqrt{3} \cdot \green{x_{o}} \cdot(2 - x_{o} ) }}}$

Letra C:

$\boxed{\boxed{ \boxed{\sf EF = 2 }}} \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf DE = \sqrt{3} }}}$

Cálculo:

$\sf x_{v} = \dfrac{2 \: \: \cancel{+ 0}}{2} \\ \\ \\ \sf x_{v} = \cancel{\dfrac{2}{2} } \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf x_{v} = 1}}}$

Consequentemente, a chapa retangular de área limite, tem a largura e a altura, em metros, correspondente a:

$\sf EF = 2 \: \: \cancel{\cdot 1} \\\boxed{\boxed{\boxed{ \sf EF = 2}}} \\ \\ \sf DE = \sqrt{3} \cdot(2 - 1) \\\sf DE = \sqrt{3} \cdot1 \\\boxed{\boxed{\boxed{ \sf DE = \sqrt{3} }}}$

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Att: Nerd1990