Question

02) Sobre a equação x! = 132.(x – 2)!, é correto afirmar que o número que a resolve é:
A) um número menor que 7.
B) um número múltiplo de 10.
C) um número primo.
D) um número divisível por 3.
E) um número quadrado perfeito.
OBS: Consegui resolver mas não tenho gabarito, quero confirmar minha resposta. Desde já agradeço.

Answer 1

Olá!

Alternativa D.

Para resolver essa equação, precisamos isolar os fatoriais em um lado da igualdade.

$x! = 132 \cdot (x - 2)!$

$\frac{x!}{(x - 2)!} = 132$

Agora podemos expandir o fatorial até o fator $(x - 2)!$ para que assim possamos simplificar a fração:

$\frac{x \cdot ( x - 1 ) \cdot \color{Red} (x - 2)! \color{Black}}{\color{Red} (x - 2)!} = 132$

$x \cdot (x - 1) = 132$

Agora podemos desenvolver como se fosse uma equação quadrática normal:

$x^2 -x = 132$

$x^2 -x - 132 = 0$

Utilizando a fórmula resolutiva (fórmula de Bhaskara):

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\color{Red}b^2-4ac \color{Black}}}{2a}$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{\color{Red}(-1)^2-4(1)(-132) \color{Black}}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{\color{Red}1+528 \color{Black}}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{\color{Red}529 \color{Black}}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 23}{2}$

$x = \frac{1 + 23}{2} \ \ \ \mathrm{ou} \ \ \ x = \frac{1 - 23}{2}$

$x = \frac{24}{2} \ \ \ \mathrm{ou} \ \ \ x = \frac{-22}{2}$

$\fbox{\fbox{ \color{Red} x = 12 \color{Black} \ \ \ \mathrm{ou} \ \ \ \color{Orange} x = -11 }}$

Para escolher a resposta, podemos testar ambas as soluções.

$x! = 132 \cdot (x - 2)!$

$(-11)! = 132 \cdot (-11 - 2)!$

$(-11)! = 132 \cdot (-13)!$

Sem o auxílio da função gama ( $\Gamma$), não conseguiríamos calcular o fatorial de um número negativo, então podemos descartar a solução $\color{Orange} x = -11$.

$x! = 132 \cdot (x - 2)!$

$12! = 132 \cdot (12 - 2)!$

$12! = 132 \cdot 10!$

$479.001.600 = 132 \cdot 10!$

$479.001.600 = 479.001.600$

A igualdade é verdadeira para $\color{Red} x = 12$.

Portanto, a solução é $\color{Red} x = 12$.

Agora, vamos analisar as características da solução e escolher a alternativa que atende as condições.

A - Falso, pois $12 > 7$

B - Falso, pois $12 \not\in M(10)$

C - Falso, pois $n(D(12)) > 2$, ou seja, 12 tem mais de 2 divisores:

$D(12) = \{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 6, \, 12 \}$

D - Verdadeiro, pois $3 \in D(12)$, ou seja, 3 é um dos divisores de 12.

E - Falso, pois $\sqrt{12} \not\in \mathbb{Q}$

Portanto, Alternativa D.

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)