Question

02) Resolva as inequações:
a) sen x < 1/2
b) cos x > − √2/2
c) tg x < −√3

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) sen x < 1/2

-7π / 6 < x < π / 6 + 2kπ com K ε Z (Inteiro positivo)

b) cos x > − √2/2

-3π / 4 ≤ x < 3π / 4 + 2kπ com K ε Z (Inteiro positivo)

c)  tg x < −√3

-π/2 + kπ < x < -π/3 + kπ com K ε Z (Inteiro positivo)

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~-\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}}}$$\boxed{\bold{~b)~-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi< x <\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}}}$

$\boxed{\bold{c)~-\dfrac{\pi}{2}+k\pi< x <-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,~k\in\mathbb{Z}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas inequações, devemos relembrar algumas propriedades do círculo trigonométrico.

Separadamente, iremos discorrer sobre como os valores das funções seno, cosseno e tangente se comportam em determinados intervalos e encontraremos a solução.

a) $\sin x<\dfrac{1}{2}$

Observe a imagem: é comum que tomemos o sentido anti-horário para os arcos. Porém, é necessário encontrar um valor de x de forma que seu seno seja menor que 1/2. Sabemos que o eixo vertical é o eixo dos senos, logo

Deduz-se que não podemos tomar o sentido anti-horário, visto que valores acima de $\dfrac{\pi}{6}$ resultariam em um seno maior que 1/2.

Isso é verdade até chegarmos no arco côngruo $\dfrac{5\pi}{6}$, porém lembre-se que estamos percorrendo o círculo no sentido horário, então o arco que tomamos é $\dfrac{5\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{6}$.

Sabendo que o período da função seno é $2\pi$, a solução da inequação é:

$-\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, tal que $k\in\mathbb{Z}$.

b) $\cos x>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Observe a imagem: da mesma forma como na alternativa anterior, devemos percorrer o círculo no sentido horário. Porém, o eixo dos cossenos é horizontal. Isto significa que devemos começar em $\dfrac{3\pi}{4}$, pois qualquer valor maior que este resultaria em um cosseno menor que $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Isso acontece até seu arco côngruo $\dfrac{5\pi}{4}$, porém lembre-se que ao percorrer o círculo desta forma, o arco que tomamos é $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{4}$.

Sabendo que o período da função cosseno é $2\pi$, a solução da inequação é:

$-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi<x<\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$, tal que $k\in\mathbb{Z}$.

c) $\tan x<-\sqrt{3}$

Observe a imagem: Ainda tomando o sentido horário, agora devemos prestar atenção no comportamento da tangente. Ela é uma reta que como o próprio nome sugere, é tangente à circunferência. Os valores acima do eixo do cosseno são positivos nos 1º e 3º quadrantes, enquanto são negativos no 2º e 4º quadrantes.

Sabemos que a tangente é igual a $-\sqrt{3}$ nos arcos $\dfrac{2\pi}{3}$ e $\dfrac{5\pi}{3}$. Percorrendo o círculo no sentido horário, teremos os arcos $-\dfrac{\pi}{3}$, porém não podemos passar do eixo de arco devido ao comportamento da tangente no 3º quadrante (ela voltaria a ser positiva!).

Lembrando que o período da função tangente é $\pi$, temos a seguinte solução:

$-\dfrac{\pi}{2}+k\pi<x<-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$, tal que $k\in\mathbb{Z}$.

As soluções do 2º quadrante são equivalentes, visto que a tangente será o ponto em que a reta que passa pelos dos arcos encontra a reta tangente.