Question

02- Numa elipse, a excentricidade vale 3/5 e a distancia focal 6, então o eixo maior vale: a)8 b)10 c)12

Answer 1

A excentricidade de uma elipse, é dada por:

$\bullet \: \sf e = \frac{c}{a}$

A questão nos fala que essa excentricidade é igual a 3/5, portanto vamos substituir esse dado:

$\sf \frac{3}{5} = \frac{c}{a} \sf \\ \sf 5.c = 3.a \\ \sf a = \frac{5c}{3}$

Ela também nos informa que a distância focal é 6, ou seja:

$\sf 2c = 6 \\ \sf c = \frac{6}{2} \\ \sf c = 3$

Substituindo o valor do foco na relação que obtemos através da excentricidade:

$\sf a = \frac{5c}{3} \\ \sf a = \frac{5.3}{ 3} \\ \sf a = \frac{15}{3} \\ \boxed{\sf a = 5}$

Como ainda não temos certeza qual o maior eixo, vamos encontrar qual o valor de "b" através de pitágoras:

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 5 {}^{2} = b {}^{2} + 3 {}^{2} \\ \sf 25 = b {}^{2} + 9 \\ \sf b {}^{2} = 25 - 9 \\ \sf b {}^{2} = 16 \\ \sf b = \sqrt{16} \\ \boxed{ \sf b = 4}$

De fato, o maior valor é "a", então o maior eixo está sobre "x", para encontrar a medida total do maior eixo basta multiplicar por "2".

$\sf A = 2.a \\ \sf A = 2.5 \\ \boxed{\sf A = 10} \leftarrow \sf resposta$

A título de curiosidade, a fórmula dessa elipse seria:

$\sf \frac{x {}^{2} }{5 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{3 {}^{2} } = 1 \\ \\ \sf \boxed{ \sf\frac{x {}^{2} }{25} + \frac{y {}^{2} }{9} = 1 }$

Espero ter ajudado