Question

02. Mostre que :

a) sen ( 2a ) = 2sen a . cos a

b ) cos ( 2a ) = cos^2 a - sen^2 a

c) tg ( 2a ) = 2tg a / 1 - tg^2 a

Answer 1

a) Usando a identidade do seno da soma:

$\mathrm{sen}(2a)\\\\ =\mathrm{sen}(a+a)\\\\ =\mathrm{sen\,}a\cos a+\cos a\,\mathrm{sen\,}a\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}2\,\mathrm{sen\,}a\cos a \end{array}}$


b) Usando a identidade do cosseno da soma:

$\cos(2a)\\\\ =\cos(a+a)\\\\ =\cos a\cos a-\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}a\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\cos^2 a-\mathrm{sen^2}a \end{array}}$


c) Usando a definição de tangente, e as identidades do seno e cosseno da soma:

$\mathrm{tg}(2a)\\\\ =\dfrac{\mathrm{sen\,}2a}{\cos 2a}\\\\\\ =\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}a\cos a}{\cos^2 a-\mathrm{sen^2\,}a}$


Considerando $\cos a\ne 0,$ podemos fazer o seguinte na igualdade acima:

$\mathrm{tg}(2a)\\\\ =\dfrac{\mathrm{sen\,}2a}{\cos 2a}\\\\\\ =\dfrac{\cos^2 a\cdot \frac{2\,\mathrm{sen\,}a}{\cos a}}{\cos^2 a\cdot \left(1-\frac{\mathrm{sen^2\,}a}{\cos^2 a}\right)}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot \frac{\mathrm{sen\,}a}{\cos a}}{1-\left(\frac{\mathrm{sen\,}a}{\cos a} \right )^2}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{2\,\mathrm{tg\,}a}{1-\mathrm{tg^2\,}a} \end{array}}~~~~~~\text{onde }\cos a\ne 0$


Obs.: Caso $\cos a=0,$ temos então que

$a=(2k+1)\cdot \dfrac{\pi}{2}\\\\\\ 2a=(2k+1)\cdot \pi\\\\\\ \therefore~~\mathrm{tg}(2a)\\\\ =\mathrm{tg}\big[(2k+1)\cdot \pi\big]\\\\ =0$

(A tangente de um múltiplo inteiro de $\pi$ é zero. $k$ é um inteiro qualquer)


Bons estudos! :-)