Matemática, perguntado por danilopubg43, 10 meses atrás

02. Determine o 1000° termo da PA: (1, 6, 11, 16, 21, 26...)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (1, 6, 11, 16, 21, 26,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, 6=1+5 e 11=6+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 1

d)milésimo termo (a₁₀₀₀): ?

e)número de termos (n): 1000

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 1000ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do milésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o sexto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 6 - 1 ⇒

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o milésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀₀ = 1 + (1000 - 1) . (5) ⇒

a₁₀₀₀ = 1 + (999) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀₀ = 1 + 4995 ⇒

a₁₀₀₀ = 4996

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

RESPOSTA: O milésimo termo da P.A. (1, 6, 11, 16, 21, 26, ...) é 4996.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀₀ = 4996 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o milésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

4996 = a₁ + (1000 - 1) . (5) ⇒

4996 = a₁ + (999) . (5) ⇒

4996 = a₁ + 4995 ⇒

4996 - 4995 = a₁ ⇒

1 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 1 (Provado que a₁₀₀₀ = 4996.)

→Veja outras tarefas relacionadas à determinação de termos em sequências do tipo progressão aritmética e resolvidas por mim:

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Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o 1000° termo da referida progressão aritmética é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf A_{1000} = 4996\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a progressão aritmética:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}P.A.(1, 6, 11, 16, 21, 26,\:\cdots) \end{gathered}$}$

Para trabalhar com P.A. podemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}A_{n} = A_{1} + (n - 1)r \end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases}A_{n} = Termo\:procurado\\A_{1} = Primeiro \:termo = 1\\ n = Ondem\:termo\:procurado = 1000\\r = raz\tilde{a}o = 6 - 1 = 5\end{cases}$