Question

02) Calcule os logaritmos:

a) log 2 ^ 128 = x
b) log 2 ^ 2 = x
c) log 2 ^ 8 = x
d) log 3 ^ 243 = x
e) log 17 ^ 1 = x
f) log 2 ^ x = 6
g) log 3 ^ x = 2
h) log 3 ^ x = 4
i) log 1/2 ^ 32 = x
j) log 1/2 ^ 49 = x

Por favor alguém pode me ajudar nessa questão aí

Por favor deixem os cálculos!!

Desde já agradeço. ​

Answer 1

Antes de prosseguirmos lembre-se da definição de logaritmo, pois vamos usá-la para resolver estas questões:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a}^{\:b}=c~\Leftrightarrow~a^c=b\end{array}}$

Ou seja, o logaritmo de “b” na base “a” é igual a “c” se e somente se “a” elevado a “c” for igual a “b”.

• obs.: sendo que a e b ∈ ℝ   com   0 < a ≠ 1  e  b > 0.

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Letra a)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:2}^{\:128}=x\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf2^x=128\\\\\sf2^x=2^7\\\\\sf\diagdown\!\!\!\!2^x=\diagdown\!\!\!\!2^7\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=7}}\end{array}$

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Letra b)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:2}^{\:2}=x\end{array}$

→ Sabemos que logₐᵃ = 1 assim não é preciso usar a definição:

$\begin{array}{l}\sf1=x\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=1}}\end{array}$

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Letra c)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:2}^{\:8}=x\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf2^x=8\\\\\sf2^x=2^3\\\\\sf\diagdown\!\!\!\!2^x=\diagdown\!\!\!\!2^3\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=3}}\end{array}$

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Letra d)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:3}^{\:243}=x\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf3^x=243\\\\\sf3^x=3^5\\\\\sf\diagdown\!\!\!\!3^x=\diagdown\!\!\!\!3^5\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=5}}\end{array}$

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Letra e)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:17}^{\:1}=x\end{array}$

→ Sabemos que logₐ¹ = 0, assim:

$\begin{array}{l}\sf0=x\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=0}}\end{array}$

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Letra f)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:2}^{\:x}=6\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf2^6=x\\\\\sf64=x\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=64}}\end{array}$

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Letra g)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:3}^{\:x}=2\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf3^2=x\\\\\sf9=x\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=9}}\end{array}$

ㅤ

Letra h)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:3}^{\:x}=4\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf3^4=x\\\\\sf81=x\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=81}}\end{array}$

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Letra i)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:1/2}^{\:32}=x\end{array}$

→ Usando a definição:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{1}{2}^{\:\:x}=32\\\\\sf(2^{-1})^x=2^5\\\\\sf\diagdown\!\!\!\!2^{-x}=\diagdown\!\!\!\!2^5\\\\\sf-x=5~~\cdot(-1)\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=-\:5}}\end{array}$

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Letra j)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:1/2}^{\:49}=x\end{array}$

→ Nesta aqui não dá para usar a definição, pois não teríamos como deixar as bases iguais para igualar os expoentes. Portanto transformando em potências

$\begin{array}{l}\sf log_{\:2^{-1}}^{\:7^2}=x\end{array}$

→ Pela propriedade

$\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a^c}^{\:b}~\Leftrightarrow~\dfrac{1}{c}\cdot log_{\:a}^{\:b}\end{array}}$

obtemos:

$\begin{array}{l}\sf-\dfrac{1}{1}\cdot log_{\:2}^{\:7^2}=x\\\\\sf-\:log_{\:2}^{\:7^2}=x\end{array}$

→ E por fim, usando a propriedade

$\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a}^{\:b^c}~\Leftrightarrow~c\cdot log_{\:a}^{\:b}\end{array}}$

obtemos:

$\begin{array}{l}\sf2\cdot(-log_{\:2}^{\:7})=x\\\\\sf\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=-2log_{\:2}^{\:7}}}\end{array}$

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