Question

01-Um cone reto tem 24 cm de altura e o raio da base é igual a 18 cm. Calcule a sua área total em centímetros quadrados.
A)864π.
B)864.
C)540π.
D)540.
02-Um cone tem altura 6 cm e diâmetro 10 cm. Considerando π=3,14, determine a área total da superfície do cone em centímetros quadrados.
A)188.
B)201,1.
C)122,62
D)200π.
03-Quantos centímetros quadrados de cartolina serão gastos para fazer o chapéu de palhaço cujas medidas estão na figura abaixo? * A)260.
B)360π.
C)260π.
D)480.
04-Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto, obtemos um setor circular de raio 6 cm e ângulo central de 60°. Calcule a área lateral do cone em centímetros quadrados.
A)360π.
B)6π.
C)6.
D)360.
05-A geratriz de um cone equilátero mede 4 cm. Determine sua área total em centímetros quadrados.
A)4π.
B)12.
C)12π.
D)2.
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Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria espacial.

1. Um cone reto de 24 cm de altura e raio da base igual a 18 cm. Qual sua área total?

Para resolvermos esta questão, lembre-se que a área total de um cone reto é calculado pela fórmula:

$A_{total}=A_{base}+A_{lateral}$

Tal que a base é uma circunferência de raio $r$, logo sua área é dada por $A_{base}=\pi\cdot r^2$ e a área lateral é um setor circular de raio $g$ e comprimento $2\pi\cdot r$, tal que $g$ é a medida da geratriz, logo sua área é $\pi\cdot r\cdot g$.

Para determinarmos a medida da geratriz, em um cone reto, utilizamos o Teorema de Pitágoras, tal que $g^2=h^2+r^2$.

Dessa forma, utilizando as medidas que conhecemos, teremos:

$g^2=24^2+18^2$

Calcule as potências

$g^2=576+324$

Some os valores

$g^2=900$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados, assumindo a solução positiva

$g=30$

Dessa forma, a área total deste cone será:

$A_{total}=\pi\cdot 18^2+\pi\cdot 18\cdot 30$

Multiplique os valores

$A_{total}=324\pi+540\pi$

Some os valores

$A_{total}=864\pi~cm^2$

2. Um cone tem altura 6 cm e diâmetro 10 cm. Considerando a aproximação $\pi\approx 3.14$, devemos determinar a área total deste cone.

Da mesma forma, aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrarmos a medida da geratriz, lembrado que o raio será a metade da medida do diâmetro (5 cm)

$g^2=6^2+5^2$

Calcule as potências

$g^2=36+25$

Some os valores

$g^2=61$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados, assumindo a solução positiva

$g=\sqrt{61}$

A área total da superfície deste cone será:

$A_{total}=\pi\cdot 5^2+\pi\cdot 5\cdot \sqrt{61}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$A_{total}=25\pi+5\pi\sqrt{61}$

Utilizando a aproximação $\sqrt{61}\approx 7.81$, teremos

$A_{total}\approx 201.1~cm^2$

3. Quantos centímetros quadrados de cartolina serão gastos para fazer um chapéu de palhaço cujas medidas são 20 cm de diâmetro e 24 cm de altura?

Observe que neste caso, não utilizaremos a fórmula da área total, apenas a área lateral. Lembre-se que num chapéu, não temos a base!

Logo, a área do chapéus será dada pela fórmula $A_{lateral}=\pi \cdot r\cdot g$

Para encontrarmos a medida da geratriz, aplique Pitágoras novamente, sabendo que a medida do raio será 10 cm:

$g^2=24^2+10^2$

Calcule os produtos

$g^2=576+100$

Some os valores

$g^2=676$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação, assumindo a solução positiva

$g=\sqrt{676}\\\\\\ g=26$

Substituindo esta medida na fórmula, teremos

$A_{chap\'eu}=\pi\cdot 10\cdot 26$

Multiplique os valores

$A_{chap\'eu}=260\pi~cm^2$

4. Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto, obtemos um setor circular de raio 6 cm e ângulo central de 60°. Qual a área lateral deste cone em centímetros quadrados?

Neste caso, utilizamos a fórmula $A_{lateral}=\pi\cdot r\cdot g$, tal que neste caso, $g= 6~cm$.

Para calcularmos o raio, fazemos a seguinte proporção: Comprimento total da circunferência está para $360\°$ enquanto o comprimento do setor está para o ângulo central:

$\dfrac{2\pi\cdot r}{\alpha\°}=\dfrac{2\pi\cdot g}{360\°}$

Substituindo as medidas que conhecemos, teremos

$\dfrac{2\pi\cdot r}{60\°}=\dfrac{2\pi\cdot 6}{360\º}$

Isolando $r$, teremos

$r=1~cm$

A área lateral será:

$A_{lateral}=\pi\cdot 1\cdot 6$

Multiplique os valores

$A_{lateral}=6\pi~cm^2$

5. A geratriz de um cone equilátero mede 4 cm. Determine sua área total em centímetros quadrados.

Neste caso, temos um cone equilátero. A medida da geratriz é igual ao diâmetro da base, logo o raio é igual a metade da medida da geratriz:

$r=\dfrac{g}{2}$

Substituindo a medida que conhecemos

$r=\dfrac{4}{2}\\\\\\ r=2$

Substituindo estas medidas na fórmula da área total, teremos:

$A_{total}=\pi\cdot 2^2+\pi\cdot2\cdot 4$

Calcule a potência e multiplique os valores

$A_{total}=4\pi+8\pi$

Some os valores

$A_{total}=12\pi~cm^2$