Question

01) (Uem 2012) O lucro de uma empresa em um período de 15 meses foi modelado matematicamente por meio da seguinte função f (x) = ax² + bx + c, em que a variável x indica o mês e f (x) o lucro, em milhões de reais, obtido no mês x. Sabe-se que no início desse período, digamos mês zero, a empresa tinha um lucro de 2 milhões de reais; no primeiro mês, o lucro foi de 3 milhões de reais; e, no décimo quinto mês, o lucro foi de 7 milhões de reais. Com base nessas informações, assinale o que for correto.

a) O lucro obtido no décimo quarto mês foi igual ao lucro obtido no oitavo mês.

b) O lucro máximo foi obtido no décimo mês.

c) O lucro máximo obtido foi superior a 7,5 milhões de reais.

d) O lucro da empresa nesse período de 15 meses oscilou de 2 a 7 milhões de reais.

e) O gráfico da função que modela o lucro é uma parábola com concavidade para baixo.

Answer 1

$f(x)$ indica o lucro em milhões de reais por mês $x$

Primeiro a gente tem que saber a equação que determina o lucro em função do mês dessa empresa.

Pegamos os pontos do enunciado, $(0,2)~~,~~(1,3)~~,~~(15,7)$

Substituindo,

$2=0^2a+0b+c \\ \\ \boxed{c=2}$

Como encontramos o "c = 2" substituímos ele,

$3=1^2a+1b+2 \\ \\ 1=a+b$

Substituindo os pontos ( 15,7 ),

$7=15^2a+15b+2 \\ \\ 5=225a+15b$

Agora resolveremos o sistema com duas incógnitas,

$1=a+b~~( multiplicando~por~- 15 )\\ --------- \\ -15=-15a-15b \\ 5=225a+15b \\ --------- \\ -10=210a \\ \\ a= \frac{-10}{210} \\ \\ \boxed{a= \frac{-1}{21}}$

Encontrando o "b",

$1= \frac{-1}{21} +b \\ \\ 21=-1+21b \\ \\ 21b= 22 \\ \\ \boxed{b= \frac{22}{21}}$

Então a equação do problema é,

$\boxed{\boxed{f(x)= \frac{-1x^2}{21} + \frac{22x}{21} + 2}}$

a ) Vamos ver o lucro em 14 meses e 8 meses,

$f(14)= \frac{-1*14^2}{21} + \frac{22*14}{21} +2 \\ \\ f(14)= \frac{-196}{21} + \frac{308}{21} + 2 \\ \\ f(14)= \frac{112}{21}+2 \\ \\ f(14)= \frac{112+42}{21} \\ \\ f(14)= \frac{154}{21} = 7,33$

$f(8)= \frac{-1*8^2}{21}+ \frac{22*8}{21}+2 \\ \\ f(8)= \frac{-64}{21}+ \frac{176}{21} +2 \\ \\ f(8)= \frac{112}{21}+2 \\ \\ f(8)= \frac{154}{21} = 7,33$

Alternativa A ) Correta!

A alternativa E ) está correta! é uma parábola com concavidade para baixo, pois o "a" é negativo.

Vamos ver o mês em que o lucro é máximo. Para isso, temos que encontrar o Xv.

$Xv= \frac{-b}{2a} \\ \\ Xv= \frac{ \frac{-22}{\not21} }{ \frac{-2}{\not21} } \\ \\ Xv= \frac{-22}{-2} =11~meses$

Alternativa B ) está incorreta!

Vamos ver se o lucro máximo foi superior a 7,5 milhões,

$f(11)= \frac{-1*11^2}{21}+ \frac{22*11}{21}+2 \\ \\ f(11)= \frac{-121+242}{21}+ 2 \\ \\ f(11)= \frac{121+42}{21} = \frac{163}{21} =7,76~milhoes$

Alternativa C ) Correto!

Alternativa D ) Incorreto! Já que o lucro máximo foi de aproximadamente 7,76 milhões e no 15 meses o lucro foi de 7 milhões significa que houve um decréscimo.