Matemática, perguntado por bibibabi5564, 5 meses atrás

01. Sabendo que a₁ = 2 e q = 3, qual o 20º termo dessa PG?

02. Determine a soma dos 100 primeiros termos da PA (3, 5, 7, ...).

03. calcule a soma dos 20 primeiros termos da pg(2,6,18...)

Soluções para a tarefa

Respondido por 181090beto

Resposta:

Olá

Explicação passo a passo:

Perceba que na questão 01. temos uma progressão geométrica (P.G) em que o primeiro termo da sequência é $( a_{1} =2 )$ e a razão $( q = 3 )$ .

Para determinarmos qualquer termo de uma sequência precisamos fazer uso da equação do termo geral de uma (P.G), que é definida pela equação:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}.$

Em que:

$a_{n}$ é o termo da sequência que queremos descobrir.

$a_{1}$ é o primeiro termo da sequência.

$q$ é a razão da sequência.

$n$ é o número do termo que queremos encontrar na sequência.

Assim para determinar o 20º termo, ou seja $( n=20 )$ basta substituirmos $( a_{1} = 2 )$ e $( q = 3 )$ então façamos:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}.$

$a_{20}=2\cdot 3^{20-1}$

$a_{20}=2\cdot 3^{19}$

precisamos agora resolver a seguinte potência $3^{19}$ , assim

$3^{19} = 3 \times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3$

$3^{19} = 1.162.261.467$

basta agora substituir na equação:

$a_{20}=2\cdot 3^{19}$

$a_{20}=2\cdot 1.162.261.467$

$a_{20}=2.324.522.934.$

Assim o 20º termo, da (P.G) é $2.324.522.934.$

Perceba que na questão 02. temos uma progressão aritmética (P.A) em que o primeiro termo da sequência é $( a_{1} =3 )$ e a razão $( r = 2 )$ , mas porquê isso? Veja que na sequência: 3, 5, 7,... o nosso primeiro termo é o 3, assim $( a_{1} =3 )$ , o segundo termo é o 5, assim $( a_{2} =5 )$ e a razão $( r )$ é definida pela equação:

$r = a_{2}-a_{1}.$

Em que:

$r$ é a razão da sequência.

$a_{1}$ é o primeiro termo da sequência.

$a_{2}$ é o segundo termo da sequência.

Assim, substituindo $( a_{2} = 5 )$ e $( a_{1}= 3 )$ temos que a razão é:

$r = a_{2}-a_{1}$

$r = 5-3$

$r=2.$

Como precisamos determinar a soma dos 100 primeiros termos da P.A (3, 5, 7,...), faremos uso da fórmula da soma nos n termos de uma P.A que é definida pela seguinte equação:

$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}$

Em que:

$a_{n}$ é o último termo da sequência a ser somado.

$a_{1}$ é o primeiro termo da sequência.

$r$ é a razão da sequência.

$n$ é o número do termo que queremos somar na sequência.

Logo a soma dos 100 primeiros termos, ou seja $( n=100 )$ e substituindo $( a_{1}=3 )$ na equação temos:

$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}$

$S_{100} = \frac{(3+a_{100})\cdot 100}{2}$

note agora que precisamos determinar o valor do centésimo elemento da P.A onde $( n=100 )$ , ou seja o nosso $( a_{100} )$ . Para isso, faremos uso da fórmula do termo geral de uma P.A que é definida pela seguinte equação:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r.$

Logo, substituindo os valores de $( a_{1} = 3 )$ , $( n = 100 )$ e $( r = 2 )$ , temos:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r.$

$a_{100}=3+(100-1)\cdot 2$

$a_{100}=3+(99\cdot 2)$

$a_{100}=3+198$

$a_{100}=201.$

Substituindo o valor do nosso $( a_{100} )$ na equação da soma $\left( S_{100} = \frac{(3+a_{100})\cdot 100}{2} \right)$ temos:

$S_{100} = \frac{(3+a_{100})\cdot 100}{2}$

$S_{100} = \frac{(3+201)\cdot 100}{2}$

$S_{100} = \frac{204\cdot 100}{2}$

$S_{100} = \frac{20.400}{2}$

$S_{100} = 10.200.$

Portanto a soma dos primeiros 100 termos da P.A ( 3, 5, 7, .....) é $10.200.$

Perceba que questão 03. deseja-se encontrar a soma dos 20 primeiros termos da progressão geométrica (P.G) (2, 6, 18,... ) em que o primeiro termo da sequência é 2, ou seja $( a_{1} = 2 )$ , e o segundo termo da sequência é 6, ou seja $( a_{2} = 6 )$ e possui razão igual a 3, ou seja $( q = 3 )$ .

Agora para determinarmos a soma dos 20 primeiros termos da (P.G) (2,6,18...), faremos uso da fórmula da soma dos n termos de uma progressão geométrica (P.G), que é definida por:

$S_{n} = \frac{a_{1} \left( q^{n} -1\right) }{q-1}.$