Question

01. Numa elipse a medida do eixo maior é 20 e a medida do eixo menor é 16. Determine a distância focal dessa elipse. *


02. Determine a equação da elipse de focos F1 (8,0) e F2 (-8,0), sabendo que o comprimento do eixo maior é 20 *


03. Dada a equação reduzida da hipérbole qual será a correspondente equação na forma geral: (foto)​

Answer 1

Resposta:

1) 2c=12

2) $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$

3) $6x^{2} -4y^{2}-24=0$

Explicação passo-a-passo:

1) Eixo maior vale 20, logo 2a=20 -> a=20/2 -> a=10

Eixo menor menor vale 16, logo 2b=16 -> b=16/2 -> b=8

A distância focal é a distância entre os focos, logo 2c.

Use a fórmula $a^{2}=b^{2}+c^{2}$  ->  $10^{2}=8^{2}+c^{2}$  -> Isolando c...

$c^{2}=100-64$  ->  $c^{2}=36$  ->  $c=\sqrt{36}$  ->  c=6, logo 2c=2*6  -> 2c=12.

2) Eixo maior (2a): 20, logo a=10. Como os focos são (8,0) e (-8,0), sabemos que o centro da elipse está em (0,0) e c vale 8, sendo c a distância do centro a qualquer foco.

Ainda usando a mesma fórmula anterior:

$100=b^{2}+64$  ->  $b^{2}=36$  ->  b=6.

Sabendo $a^{2}$ e $b^{2}$, que o centro está na origem (0,0) e que os focos estão no eixo x, a equação da elipse fica:  $\frac{x^{2}}{100} +\frac{y^{2}}{36} =1$.

3) Para retirar da maneira reduzida devemos retirar as frações e igualar a 0.

Para cancelar a primeira fração, que divide $x^{2}$ por 4, multiplicamos todos os componentes por 4, depois por 6 para cancelar a fração por 6:

$\frac{4*x^{2}}{4}-\frac{4*y^{2}}{6}=4*1$

$6*x^{2}-\frac{6*4*y^{2}}{6}=6*4$

$6x^{2}-4y^{2}=24$

(Diminui 24 dos dois lados para igualar a 0, mantendo verdadeira a relação);

$6x^{2}-4y^{2}-24=24-24$

$6x^{2}-4y^{2}-24=0$