Question

01-em sala de aula, a professora de matemática propôs a seguinte questão:" Qual o número possui maior resultado:raiz quadrada de 2 ou raiz cubica de 3?" carlos, um dos alunos da turma,pensou da seguinte maneira:​

Answer 1

Utilizando conceitos de comparação por razão, temos que raíz quadrada de 2 é menor que raíz cubica de 3, letra C.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão bem simples, estamos comparando 2 elevado a 1/2 com 3 elevado a 1/3, desta forma de potência é mais simples de se resolver.

Se queremos saber qual é maior, vamos fazer a razão R de um sobre o outro:

$R=\frac{2^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{3}}}$

Pois se esta razão for maior que 1, então raíz de 2 é maior que raíz cubica de 3, caso contrário, então ela é menor.

Agora só precisamos simplificar esta equação, primeiramente retirando frações dos expoentes, para isso vamos elevar os dois lados a 6, pois 6 é multiplo de 2 e 3 simultaneamente, assim quando ele multiplicar os expoentes, ele irá eliminar as frações:

$R^6=\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{3}}}\right)^6$

$R^6=\frac{(2^{\frac{1}{2}})^6}{(3^{\frac{1}{3}})^6}$

Como uma potêcia elevado a outra é simplesmente a multiplicação dos expoentes, temos:

$R^6=\frac{2^{\frac{1}{2}\cdot 6}}{3^{\frac{1}{3}\cdot 6}}$

$R^6=\frac{2^{\frac{6}{2}}}{3^{\frac{6}{3}}}$

$R^6=\frac{2^{3}}{3^{2}}$

Agora temos potências simples, e sabemos que 2³ é 8 e 3² é 9, então:

$R^6=\frac{8}{9}$

E sabemos que 8 dividido por 9 é menor que 1, pois 8 é menor que 9:

$R^6=\frac{8}{9}<1$

$R^6<1$

Assim vemos que R⁶ é menor que 1, e mesmo se fizermos as raízes dos dois lados ele ainda será menor que 1, pois a raíz só vai torna-lo mais proximo de uma, mas nunca irá ultrapassar, ou seja:

$R<1$

Assim se esta razão é menor que 1, então significa que raíz quadrada de 2 é menor que raíz cubica de 3, letra C.