ENEM, perguntado por FioxPedo, 8 meses atrás

01) Em computação gráfica, quando um programa altera a forma de uma imagem, está transformando cada ponto

de coordenadas (x, y) , que forma a imagem, em um novo ponto de coordenadas (a,b). A figura ao lado ilustra a transformação da imagem 1 na imagem 2. Um dos procedimentos que consiste em transformar o ponto (x, y) no ponto (a,b) é realizado, através de operações com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:

Etapa 1: Fixe duas matrizes invertíveis M e E , de ordem 2, e considere M^−1 a matriz inversa de M.

Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas são as coordenadas dos pontos (x, y) e (a,b), respectivamente, isto é,

Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressão Q = E M^−1 P .

Considerando estas etapas e as matrizes, determine:

a) a inversa de M.

b) o ponto (a, b) que é obtido do ponto (2, 3) por meio da expressão Q = E M^−1 P.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nerd1990

Letra A:

$\boxed{\boxed{\boxed{\begin{bmatrix} \sf \dfrac{1}{4} &\sf - \dfrac{1}{6} \\ \\ \sf \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix}}}}$

Para encontramos a inversa de M, devemos utilizar fórmula $\begin{bmatrix} \sf \red w & \sf \green x\\\sf \green y & \sf \red z \\ \end{bmatrix} = \sf \red{wz} - \green{xy}$ e a regra de sinais.

Sinais iguais (+)
Sinais diferentes (-)

$\begin{bmatrix} \sf 2& \sf 2 \\ \sf - 3 & \sf 3 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{vmatrix} \sf 2 &\sf 2 \\ \sf - 3 &\sf 3 \\ \end{vmatrix} \\ \\ \sf 2 \cdot3 \red- 2 \cdot \red- 3 \\ \sf 6 + 6 \\ \sf \green{12}$

Dado que o determinante foi diferente do algarismo 0, substituiremos a = 2, a = 2, b = 2, c = - 3, d = 3 para formularmos a fórmula do inverso $\sf \dfrac{1}{ad - bc} \cdot \begin{bmatrix} \sf d &\sf - b \\ \sf - c &\sf a\\ \end{bmatrix}$ .

$\sf \frac{1}{2 \cdot3 \red- 2 \cdot \red - 3} \cdot \begin{bmatrix} \sf 3 &\sf - 2 \\ \sf \red- ( \red- 3) &\sf 2 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf \frac{1}{6 + 6} \cdot\begin{bmatrix} \sf3 & \sf - 2 \\ \sf 3& \sf 2\\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf \frac{1}{12} \cdot\begin{bmatrix} \sf 3 & \sf - 2 \\ \sf 3& \sf 2 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix} \sf \cancel{3 \div 3} \cdot \dfrac{1}{ \cancel{12 \div 3}} &\sf \cancel{- 2 \div 2} \cdot \dfrac{1}{ \cancel{12 \div 2}} \\ \\ \sf \cancel{3 \div 3}\cdot \dfrac{1}{ \cancel{12 \div 3}} &\sf \cancel{2 \div 2} \cdot \dfrac{1}{ \cancel{12 \div 2}} \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\begin{bmatrix}\sf \dfrac{1}{4} & \sf - \dfrac{1}{6} \\ \\ \sf \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix}}}}$

Letra B:

$\boxed{\boxed{\boxed{\sf Q = \begin{bmatrix} \sf 1 \\ \sf 0 \\ \end{bmatrix}}}}$

$\sf Q = E \cdot M^{-1} \cdot P \\ \\ \\\sf Q = \begin{bmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf - 1&\sf 0\\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} \sf \dfrac{1}{4} & \sf - \dfrac{1}{6} \\ \\ \sf \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} \sf 2 \\ \sf 3 \\ \end{bmatrix}$

Agora iremos calcular $\sf E \cdot M^{-1}$ .

$\sf Q = \begin{bmatrix}\sf 0 & \sf 1 \\ \sf - 1 & \sf 0 \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}\sf \dfrac{1}{4} & \sf - \dfrac{1}{6} \\ \\\sf \dfrac{1}{4} &\sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf Q = \begin{bmatrix} \sf \cancel{0 \cdot \dfrac{1}{4}} \: + \: \cancel{ 1 \cdot} \: \dfrac{1}{4} & \sf \cancel{0 \cdot\Bigg( - \dfrac{1}{6} \Bigg) } + \cancel{1 \cdot } \: \dfrac{1}{6} \\ \\ \\\sf \green- \: \cancel{1 \cdot } \: \dfrac{1}{4} + \cancel{ 0 \cdot \dfrac{1}{4}} &\sf \cancel{ \red - 1 \cdot\Bigg( \red - }\dfrac{1}{6} \cancel{\Bigg) + 0 \cdot \dfrac{1}{6} }\\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf Q = \begin{bmatrix} \sf \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \\\sf - \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix}}}}$

Agora multiplicamos o produto de $\sf E \cdot M^{-1}$ por P.

$\sf Q = \begin{bmatrix}\sf \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \\ \sf - \dfrac{1}{4} & \sf \dfrac{1}{6} \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} \sf 2 \\\sf 3 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf Q = \begin{bmatrix} \sf \dfrac{1}{ \cancel{4 \div 2}} \cdot \cancel{2 \div 2}+ \dfrac{1}{ \cancel{6 \div 3}} \cdot \cancel{3 \div 3}\sf \\ \\ \sf - \dfrac{1}{ \cancel{4 \div 2} }\cdot \cancel{2 \div 2}+ \dfrac{1}{ \cancel{6 \div 3}} \cancel{ \cdot3 \div 3} \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf Q = \begin{bmatrix}\sf \dfrac{ 1}{2} + \dfrac{1}{2} \\ \\ \sf \cancel{ - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf Q = \begin{bmatrix} \sf 0 {,}5 + 0{,}5 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\\boxed{\boxed{\boxed{ \sf Q = \begin{bmatrix} \sf 1 \\ \sf 0\\ \end{bmatrix}}}}$

Realizando o cálculo das matrizes, obtemos $\sf Q = \begin{bmatrix} \sf 1 \\\sf 0 \\ \end{bmatrix}$ logo o retrato do ponto (2,3) mediante expressão $\sf Q = E\cdot M^{ - 1}\cdot P$ é (1,0).