Question

01. Determine as raízes reais de cada uma das seguintes funções quadráticas:
(a) y = x²- x -12
(b) f(x) = 6x² + x -1
(c) f(x) = x² - 2x -24
(d) y = 7x² + 2x + 1
(e) y = -x² + 12x -36
( f) y = 9x² + 8x -1
(g) f(x) = -2² + 9x +18
(h) y = 5x² - 3x -2
( i) y = 2x² - 5x +8
( j) y = x² - 2x +1

02. Resolva as seguintes equações do 2º grau:
(a) x(x+11)+2(x+21)=0
(b) 3x(x+1)-x=33-(x-3)²

03. Determine o valor de k de modo que a função quadrática f(x)=9x+k não tenha raízes reais.

04. Qual deve ser o valor do coeficiente b para que a função y=2x²+bx+8 tenha uma única raiz real?

05. Obtenha as coordenadas do vértice da parábola de cada uma das seguintes funções quadráticas.
(a) y = x² + 6x +8
(b) y = x² - 2x -8
(c) y = -x² - 7x -10
(d) y = -4x² + 6x

06. Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = -t² +4t +5. Determine:
(a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
(b) a altura máxima atingida pela bola;
(c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

07. Construa o gráfico de cada função quadrática definida pelas leis a seguir:
(a) y = 2x² - 8x +4
(b) y = -x² + 6x -5

Answer 1

01.
a) y = x² - x - 12
y = 0
x² - x -12 = 0
x = (1+/- √1 + 48)/2
x = (1 +/- √49) / 2
x1 = (1 + 7)÷2 = 8 ÷ 2 = 4
x2 = (1 - 7) ÷ 2 = -6 ÷ 2 = -3

b) f(x) = 6x² + x -1
f(x) = 0
6x² + x - 1 = 0
x = (-1 +/- √1 + 24) ÷ 12
x = (-1 +/- √25) ÷ 2
x1 = (-1 + 5) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
x2 = (-1 - 5) ÷ 2 = -6 ÷ 2 = -3

c) f(x) = x² - 2x - 24
f(x) = 0
x² - 2x - 24 = 0
x = (2 +/- √4 + 96) ÷ 2
x = (2 +/- √100) ÷ 2
x1 = (2 + 10) ÷ 2 = 6
x2 = (2 - 10) ÷ 2 = -4

d) y = 7x² + 2x + 1
y = 0
7x² + 2x + 1 = 0
x = (-2 +/- √4 - 29) ÷ 2
x = (-2 +/- √-25) ÷ 2 (impossível calcular raiz de número negativo)

e) y = -x² + 12x - 36
y = 0
-x² + 12x - 36 = 0     (. -1)
x² - 12x + 36 = 0
x = (12 +/- √144 - 144) ÷ 2
x = (12 +/- 0) ÷ 2
x = 12 ÷ 2 = 6

f) y = 9x² + 8x - 1
y = 0
9x² + 8x - 1= 0
x = (-8 +/- √64 +36) ÷ 2
x = (-8 +/- √100) ÷ 2
x = (-8 +/- 10) ÷ 2
x1 = (-8 + 10) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1
x2 = (-8 - 10) ÷ 2 = -18 ÷ 2 = -9

g) f(x) = -2x² + 9x + 18
f(x) = 0
-2x² + 9x + 18 = 0    (.-1)
2x² - 9x - 18 = 0
x = (9 +/-√81 + 144) ÷ 2
x = (9 +/- √225) ÷ 2
x = (9 +/- 15) ÷ 2
x1 = (9 + 15) ÷ 2 = 24÷2 = 12
x2 = (9 - 15) ÷ 2 = -6 ÷ 2 = -3

h) y = 5x² - 3x - 2
y=0
5x² - 3x - 2 = 0
x = (3 +/-√9 + 40) ÷ 2
x = (3 +/-√49) ÷ 2
x1 = (3 + 7) ÷ 2 = 10÷2 = 5
x2 = (3 - 7) ÷ 2 = -4÷2 = -2

i) y =  2x² - 5x + 8
y = 0
2x² - 5x + 8 = 0
x = (5 +/-√25 - 64) ÷ 2
x = (5 +/-√-39) ÷ 2   (impossível calcular raiz de número negativo)

j) y = x² - 2x + 1
y - 0
x² - 2x +1 = 0
x = (2 +/-√4 -4) ÷ 2
x = (2 +/- 0) ÷ 2
x = 2 ÷ 2 = 1

2)
a) x(x + 11) + 2(x + 21) = 0
x² + 11x + 2x² + 42 = 0
3x² + 11x +42 = 0
x = (121 +/-√121 - 504) ÷ 2
x = (121 +/- √-383) ÷ 2        (impossível calcular raiz de número negativo)

b) 3x(x + 1) - x = 33 - (x-3)²
3x² + 3x - x = 33 -(x² - 6x + 9)
3x² + 3x - x = 33 - x² +6x -9
3x² + x² +3x - x - 6x -33 + 9= 0
4x² -4x -24 = 0
x = (4 +/-√16 + 384) ÷ 2
x = (4 +/-√400) ÷ 2
x = (4 +/- 20) ÷ 2
x1 = (4 + 20) ÷ 2 = 12
x2 = (4 - 20) ÷ 2 = -8

3) f(x) = 9x+ k ( não é quadrática)

4) y = 2x² + bx + 8
y=0
2x² +bx + 8 = 0
x = (-b +/-√b² - 64) ÷ 2
Para que a funçao tenha apenas uma raiz, b deve ser igual a 8
x = (-8 +/- √64 - 64) ÷ 2
x = (-8 +/- 0) ÷ 2
x = -8 ÷ 2 = -4

5) Achar coordenadas do vértice.

a) y = x² +6x + 8
a = 1
b = 6
c = 8
Δ = b² - 4ac
Δ = 36 - (4.1.8)
Δ = 36 - 32
Δ = 4

V = (-b/2a , -Δ/4a)
V = (-6/2, -4/4)
V = (-3, -1)

b) y = x² - 2x - 8
a = 1; b = -2; c = -8
Δ = (-2)² - (4.1.(-8))
Δ = (-2)² - (-32)
Δ = 4 + 32
Δ = 36
V = -(-2)/2, -36/4)
V = (1; -9)

c) y = -x² - 7x - 10
a = -1; b=-7; c=-10
Δ = (-7)² - (4.(-1).(-10)
Δ = 49 -(-4.-10)
Δ = 49 - 40
Δ = 9
V = ((7)/-2; -9/-4)
V = ( -3,5; 2,25 )

d) y = -4x² + 6x
a = -4; b = 6; c = 0
Δ = (36 - (4.-4.0)
Δ = 36
V = (-6/8; -36/-16)
V = (-3/4; 9/4)

6) h = -t² +4t + 5
a = -1; b = 4; c= 5
a) instante da altura máxima:
t = -b/2a
t = -4/-2
t = 2s
b) altura máxima
Hmax= -Δ/4a
Δ = 16 + 20
Δ = 36 
Hmax= -36/-4
Hmax = 9 m 

c) Quantos segundos depois do lançamento ela toca o chão

t = 0
-t² + 4t + 5 = 0
t² - 4t - 5 = 0
t = (4 +/-√16 + 20) ÷ 2
t = (4 +/- √36) ÷ 2
t, = (4 + 6) ÷ 2 = 5s
t2= (4 - 6) ÷ 2 = -1

Resposta t= 5s

07) Dados necessários para construir o gráfico
a) 2x² - 8x + 4
a>0 = aberta para cima
Coordenadas do vértice:
V(-b/2a; -Δ/4a)  
 Δ = b² - 4.a.c = (-8)² - (4.2.4) = 64 - 32 = 32
V(8/4; -32/8)      V(2; -4)

O valor de c indica o ponto em que a parábola corta o eixo y
Coordenadas(0,4) 

Ache as raizes da equação para encontrar os pontos em que ela corta o eixo x.

b) y= -x² + 6x - 5
a = -1; b = 6 ; c = -5
a < 0 aberta para baixo
Δ = 36 - (4.-1.-5) = 36 - (20) = 36 - 20 = 16
Coordenadas do vértice
V(-6/-2; -16/-4)    V(3; 4)

Corta no eixo y em (0, -5)

-x² +6x -5 = 0
x² - 6x +5 = 0
x = (6 +/-√36 - 20) ÷ 2
x = (6 +/- 4) ÷ 2
x, = 5
x2 = 1
Corta o eixo x em (1,0) e (5,0)