Question

01 – Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B, em cada caso.

A) A(2, -1) e B(-1, 0).

B) A(5, 2) e B(-3, 1).

C) A(0, -4) e B(2, -2). ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

m = (0+1)/(-1-2) = 1/-3 = -1/3

y - ya = m(x - xa)

y + 1 = -1/3(x - 2)

y + 1 = -x/3 + 2/3

y = -x/3 + 2/3 - 1

y = -x/3 (2 - 3)/3

y = -x/3 - 1/3

b)

m = (1 - 2)/(-3 - 5) = -1/-8 = 1/8

y - ya = m(x - xa)

y - 2 = 1/8(x - 5)

y - 2 = x/8 - 5/8

y = x/8 - 5/8 + 2

y = x/8 + (-5 + 16)/8

y = x/8 + 11/8

c)

m = (-2 + 4)/(2 - 0) = 2/2 = 1

y - ya = m(x - xa)

y + 4 = 1(x - 0)

y + 4 = x

y = x - 4

Answer 2

Para os pares de pontos A e B fornecidos, as equações das retas são, respectivamente, iguais a $\bold{x+3\cdot y+1=0}$ ; $\bold{x-8\cdot y+11=0}$ ; e  $\bold{-x+y+4=0}$.

Explicação passo a passo:

Para determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos é possível utilizar dois métodos:

1 - Método do Coeficiente Angular

Este método consiste em utilizar, primeiramente, os dois pontos conhecidos (A e B) para determinar o valor do coeficiente angular (m) da reta a partir da seguinte equação:

$m=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}$

Uma vez encontrado o coeficiente angular, utiliza-se novamente a relação anterior para determinar a equação geral da reta. Contudo, para que isso seja possível é necessário substituir as coordenadas do ponto B por um par de coordenadas genéricas (x,y), ou seja:

$m=\frac{y_-y_{A}}{x-x_{A}}$

$y-y_{A}=m\cdot \left(x-x_{A} \right)$

A partir da relação acima, basta substituirmos os valores conhecidos das coordenadas do ponto A e do coeficiente angular e rearranjar os valores para encontrar a equação da reta desejada.

a) $A(2;-1)$ e $B(-1;0)$

• Cálculo do Coeficiente Angular

$m=\frac{(-1)-(0)}{(2)-(-1)}$

$m=\frac{-1}{2+1}$

$\bold{m=\frac{-1}{3}}$

• Determinação da Equação da Reta

$y-(-1)=\frac{-1}{3}\cdot \left[x-(2) \right]$

$y+1=\frac{-x+2}{3}$

Multiplicando os dois lados da igualdade por 3:

$\left[y+1=\frac{-x+2}{3} \right] \times 3$

$3\cdot y+3=-x+2$

$3\cdot y+3+x-2=0$

$\bold{x+3\cdot y+1=0}$

b) $A(5;2)$ e $B(-3;1)$

• Cálculo do Coeficiente Angular

$m=\frac{(2)-(1)}{(5)-(-3)}$

$m=\frac{1}{5+3}$

$\bold{m=\frac{1}{8}}$

• Determinação da Equação da Reta

$y-(2)=\frac{1}{8}\cdot \left[x-(5) \right]$

$y-2=\frac{x-5}{8}$

Multiplicando os dois lados da igualdade por 8:

$\left[y-2=\frac{x-5}{8} \right] \times 8$

$8\cdot y-16=x-5$

$x-8\cdot y+16-5=0$

$\bold{x-8\cdot y+11=0}$

c) $A(0;-4)$ e $B(2;-2)$

• Cálculo do Coeficiente Angular

$m=\frac{(-4)-(-2)}{(0)-(2)}$

$m=\frac{-4+2}{-2}$

$m=\frac{-2}{-2}$

$\bold{m=1}$

• Determinação da Equação da Reta

$y-(-4)=1\cdot \left(x-0} \right)$

$y+4=x$

$\bold{-x+y+4=0}$

2. Método Matricianal

Este método consiste, inicialmente, em construir uma matriz 3x3 utilizando as coordenadas dos pontos A e B junto com as coordendas de um ponto C genérico (x;y). Na primeira coluna são alocados os valores do ponto x, na segunda coluna os valores de y e a terceira coluna é preenchida com uns (1), ou seja:

$M=\left[\begin{array}{ccc}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x&y&1\end{array}\right]$

Em seguida, calculamos o determinante da Matriz e o igualá-mos a 0 (zero).

$det(M)=0$

Uma vez encontrado o determinante, basta rearranjar a resposta obtida para determinar a equação da reta.

a) $A(2;-1)$ e $B(-1;0)$

• Matriz

$M=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-1&0}&1\\x&y&1\end{array}\right]$

• Determinante

$det(M)=0-x-y-0-2\cdot y-1=0$

$-x-3\cdot y-1=0$

$\bold{x+3\cdot y+1=0}$

b) $A(5;2)$ e $B(-3;1)$

• Matriz

$M=\left[\begin{array}{ccc}5&2&1\\-3&1}&1\\x&y&1\end{array}\right]$

• Determinante

$det(M)=5+2\cdot x-3\cdot y-x-5\cdot y+6=0$

$\bold{x-8\cdot y+11=0}$

c) $A(0;-4)$ e $B(2;-2)$

• Matriz

$M=\left[\begin{array}{ccc}0&-4&1\\2&-2}&1\\x&y&1\end{array}\right]$

• Determinante

$det(M)=0-4\cdot x+2\cdot y+2\cdot x+0+8=0$

$-4\cdot x+2\cdot y+2\cdot x+8=0$

$-2\cdot x+2\cdot y+8=0$

$\bold{-x+y+4=0}$

Obs.: Para garantir que os 3 pontos que compõem a matriz estejam alinhados é necessário que o determinante seja igual à 0.

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