Question

01)Considere as letras da palavra
i n c o n s t i t u c i o n a l
Quantos anagramas podem ser formados se:
(a) as letras i nunca ficam juntas? Justifique.
(b) n˜ao podem aparecer VOGAIS consecutivas? Justifique.

Answer 1

a) 70.702.632.000 anagramas

b) 72.455.342.400 anagramas

O que são anagramas?

Anagramas são as palavras, com sentido ou não, formadas pela troca ou permutação das letras de uma palavra tomada como inicial.

Por exemplo, a palavra MAR possui os seguintes anagramas.

• MAR

• MRA

• AMR

• ARM

• RMA

• RAM

Como calcular a quantidade de anagramas de uma palavra?

Por um lado, uma palavra com n letras sem letras repetidas forma uma quantidade de anagramas dada pela permutação simples da quantidade n de letras palavra. Isto é:

$\boxed{\mathsf{P_n = n!}}$

Por outro lado, quando uma palavra contém letras repetidas, utilizamos a fórmula da permutação com repetições, para quantidade de anagramas. Ela é dada por:

${\boxed{\mathsf{P_n^{a_1,a_2,...,a_n} = \dfrac{n!}{a_1!.a_2!....a_n!}}}}$

Onde:

• n é o total de letras.

• a1, a2 até an representa a quantidade de letras diferentes.

Como resolver a questão?

Começaremos calculando quantos anagramas a palavra inconstitucional possui.

Palavra: inconstitucional: 16 letras. Listando as letras pela quantidade em que aparecem:

• i, 3 vezes.

• n, 3 vezes.

• c, 2 vezes.

• o, 2 vezes.

• s, 1 vez.

• t, 2 vezes.

• u, 1 vez.

• a, 1 vez.

• l, 1 vez.

Logo:

$\mathsf{P_{16}^{3,3,2,2,2} = \dfrac{16!}{3!.3!.2!.2!.2!} =~}\boxed{\mathsf{72648576000~anagramas}}$

a) Para que as três letras "i" nunca fiquem juntas, elas não podem ficar em nenhuma das posições (x representa uma letra qualquer, dentre as possíveis):

$\begin{cases}\text{i i i x x x x x x x x x x x x x}\\\text{x i i i x x x x x x x x x x x x}\\\text{x x i i i x x x x x x x x x x x}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots\\\text{x x x x x x x x x x x i i i x x}\\\text{x x x x x x x x x x x x i i i x}\\\text{x x x x x x x x x x x x x i i i}\end{cases}$

A quantidade total de casos em que isso acontece nada mais é que 14, facilmente de ser observado.

Em cada um dos casos, temos que permutar 13 letras (n, c, o, s, t, u, a, l) com as suas respectivas repetições já listadas. Assim, as letras i sempre ficam juntas em:

$\mathsf{P_{13}^{3,2,2,2} = \dfrac{13!}{3!.2!.2!.2!} =}~\mathsf{129.729.600~anagramas}$

Como essa quantidade é referente à cada linha, então vamos multiplicar por 14, que é o número de linhas.

$\mathsf{Total:14 \cdot 129729600 =}~\boxed{\mathsf{1.816.214.400 ~anagramas}}$

Logo, as letras i nunca ficam juntas em:

$\mathsf{72648576000-1816214400=}~\boxed{\mathsf{70.702.632.000~anagramas}}$

b) Para que não apareçam vogais consecutivas, iremos realizar o mesmo procedimento do item a). Desta vez, não pode ocorrer as vogais a, i, o, u juntas:

$\begin{cases}\text{i i i o o a u x x x x x x x x x}\\\text{x i i i o o a u x x x x x x x x}\\\text{x x i i i o o a u x x x x x x x}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots\\\text{x x x x x x x x x i i i o o a u}\end{cases}$

Note que em cada caso listado acima, "i i i o o a u" permite P₇³,² = 420 permutações. Logo, cada caso são 420 casos ao mesmo tempo. Além disso, existem 10 linhas, ou seja, vamos multiplicar o resultado por 4200.

Em cada linha, temos a permutação com repetição de 9 elementos com as letras (n, c, s, t, l)

$\mathsf{P_{9}^{3,2,2} = \dfrac{9!}{3!.2!.2!}=}~\mathsf{15.120~anagramas}}$

Vezes 4200 casos, encontraremos a quantidade de anagramas que aparecem VOGAIS consecutivas.

$\mathsf{Total:4200 \cdot 15120 =}~ \boxed{\mathsf{63.504.000~anagramas}}$

Finalmente, não podem aparecer VOGAIS consecutivas em um total de:

$\mathsf{72.518.846.400 - 63.504.000=}~ \boxed{\mathsf{72.455.342.400~anagramas}}$

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