Question

0%um conceito muito importante da matemática avançada é o de autovalor de uma matriz quadrada. Os autovalores de uma matriz A são os valores de x que satisfazem a equação det(A-xl) =0 , em que l é a matriz identidade com mesma ordem da matriz A. Os autovalores de A=[3 8 ] são 
                                                                 1 5
a) 3e5
b) 1e7
c) 4e4
d) 2e6
e) 0e8

Answer 1

Equação do problema:

det (A – xI) = 0

Na equação acima, x são os autovalores da matriz A e I é uma matriz identidade de mesma ordem de A, 2×2.

A matriz identidade é uma matriz quadrada na qual todos os elementos de sua diagonal principal valem 1 e os outros, 0.

$\displaystyle I = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

Sendo assim, vamos ter:

$\displaystyle det \left[\left(\begin{array}{cc} 3 & 8 \\ 1 & 5 \end{array}\right) - x \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \right] = 0$

Fazemos a multiplicação de x por cada termo da matriz identidade:

$\displaystyle det \left[\left(\begin{array}{cc} 3 & 8 \\ 1 & 5 \end{array}\right) -\left(\begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & x \end{array}\right) \right] = 0$

Agora subtraímos cada termo da primeira matriz com seu termo correspondente na segunda matriz:

$\displaystyle det \left[\left(\begin{array}{cc} 3 - x & 8 \\ 1 & 5 - x \end{array}\right)\right] = 0$

O determinante da matriz acima vai ser a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária:

$\displaystyle (3-x)(5-x) - 8 \cdot 1 = 0$

$\displaystyle 15 - 3x - 5x + x^2 - 8 = 0$

$\displaystyle x^2 - 8x + 7 = 0$

Os autovalores serão as raízes dessa equação que vamos resolver com Bhaskara:

$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = 64 - 28 \\ \Delta = 36$

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}$

$\displaystyle x' = \frac{ 8 + 6}{2 } = 7$

$\displaystyle x'' = \frac{8-6 }{2 } = 1$

Portanto, alternativa b.

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