Question

∫_0^(π/3〖sin⁡(x)/(cos^2(x)dx Poxa vida, será que alguém sabe me responder?

Answer 1

Resposta: $1$

Temos a seguinte integral definida:

$\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{senx}{cos {}^{2}x } dx$

Primeiro vamos fazer a expansão de algumas expressões, começando por cos²x que pode ser escrito como o produto dos cossenos:

$\sf \sf \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{senx}{cosx.cosx} dx$

Separando a multiplicação:

$\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{senx}{cosx} . \frac{1}{cosx} dx$

Agora lembre-se lá da trigonometria, seno sobre cosseno representa a tangente e 1 sobre o cosseno representa a secante:

$\boxed{ \sf tanx = \frac{senx}{cosx} \: \: \: e \: \: \: secx = \frac{1}{cosx} }$

Substituindo as expressões respectivas:

$\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}} tanx.secx dx$

Nesse momento devemos lembrar da derivada, pois como sabemos a integral é o oposto, então se soubermos a derivada correspondente, esse será o "resultado". Lá na aula de derivadas trigonométricas, o seu professor deve ter dito que a derivada da secante é:

$\sf \frac{dy}{dx} [secx] = secx.tanx$

Então podemos dizer que a integral de secx.tanx é a própria secante:

$\sf secx\begin{array}{c|c}& \frac{\pi}{3} \\ \\ &0\end{array}$

Para finalizar, basta aplicarmos o teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\boxed{ \sf \int_a^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)}$

Aplicando:

$\sf sec \left( \frac{\pi}{3} ) - sec(0) \longleftrightarrow \sf \frac{1}{cos60 {}^{ \circ} } - \frac{1}{cos0 {}^{ \circ} } \to \\ \\ \to\sf \frac{1}{ \frac{1}{2} } - \frac{1}{1} \longleftrightarrow \frac{1}{1} . \frac{2}{1} - 1 \longleftrightarrow 2 - 1 = \boxed{\sf 1 }\:$

Espero ter ajudado