Question

0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, ...
essa sequencia pode ser associada a uma fórmula geométrica. Que fórmula é essa?

Answer 1

Nos é dada a seguinte sequência:

(0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, ...)


Analisemos as diferenças entre dois termos consecutivos desta sequência:

$a_2-a_1=2-0=2\\\\ a_3-a_2=5-2=3\\\\ a_4-a_3=9-5=4\\\\ \vdots\\\\ a_n-a_{n-1}=n\\\\\vdots$


Observe que obtemos uma nova sequência $b_n,$ formada pelo resultado das diferenças entre termos consecutivos:


Então, se somarmos os (n – 1) primeiros termos da sequência $b_n,$ estamos calculando a soma de uma progressão de (n–1) termos, cujo primeiro termo é $b_1 = 2$ e a razão é $r=1:$


Fórmula do termo geral da sequência $b_n:$

$b_n=b_1+(n-1)\cdot r\\\\ b_n=2+(n-1)\cdot 1\\\\ b_n=2+n-1\\\\ b_n=1+n~~~~~~\text{com }n=1,\,2,\,3,\,\ldots$


A soma dos (n – 1) primeiros termos da sequência $b_n:$

$S_{n-1}=\dfrac{(b_1+b_{n-1})\cdot (n-1)}{2}\\\\\\ b_1+b_2+\ldots+b_{n-1}=\dfrac{(b_1+b_{n-1})\cdot (n-1)}{2}\\\\\\ (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\ldots+(a_n-a_{n-1})=\dfrac{(2+n)\cdot (n-1)}{2}$


Observe atentamente o lado esquerdo. Vários termos irão se cancelar, com exceção de dois termos. No lado esquerdo sobra

$-a_1+a_n=\dfrac{(2+n)\cdot (n-1)}{2}\\\\\\ a_n=\dfrac{(2+n)\cdot (n-1)}{2}+a_1\\\\\\ a_n=\dfrac{(2+n)\cdot (n-1)}{2}+0\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}a_n=\dfrac{(2+n)\cdot (n-1)}{2} \end{array}}~~~~~~\text{com }n=1,\,2,\,3,\,\ldots$


Esta é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética de 2ª ordem, que é a sequência dada inicialmente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Essa sequência pode ser associada a fórmula para o número de diagonais de um polígono:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

onde n é o número de lados do polígono.

O primeiro número da sequência é o número de diagonais de um triângulo, o segundo de um quadrilátero, o terceiro de um pentágono e assim por diante.