Question

0.1 Resolva as equações abaixo utilizando a fórmula da soma e produto das raízes.

(a) R =

(b) R =

(c) R =

(d) R =

(e) R =

(f) R =

(g) R=

Answer 1

Olha: x² - Sx + P = 0 (se a = 1)
ou seja,  S = -b
              P = c

a) x² -13x - 30 = 0
S = 13  ( - (-13) = 13)
P = - 30  
Se o produto é negativo, então uma das duas raízes é negativa (somente uma).
Vamos pensar nos produtos que resultam em 30:
30    2
15    3
  5    5
  1
30 = 2 . 3 . 5

6 . 5 = 30
-6 + 5 = -1
6 - 5 = 1

2 . 15 = 30
-2 + 15 = 13
2 - 15 = -13
Pronto! O produto é -30 e a soma é 13:
-2 + 15 = 13
-2 . 15 = -15
As raízes são -2 e 15

b) 2x² + 20 + 50 = 0
Primeiro vamos dividir tudo por 2:
x² + 10x + 25
S = -10
P = 25
(O produto é positivo, então os dois números tem o mesmo sinal)
(Como a soma é negativa, os dois são negativos)
Vamos fatorar o 25
25   5
  5  5
  1
25 = 5 . 5
10 = 5 + 5
Só precisa arrumar o sinal:
- 5 - 5 = -10
- 5 . (- 5 ) = 25
Pronto.
As raízes são -5 e -5

c) x² - x + 6/3 = 0  (6/3 = 2  é 6÷3 = 2)
S = 1
P = 2
(O produto é positivo, então as duas raízes tem o mesmo sinal, como a soma é positiva, as duas são positivas)
P = 2
1.2 = 2
1 + 2 = 3
Como a soma é 1, então não dá certo. Vamos resolver por Bháskara pra ver o que aconteceu:
Δ = 1 - 4.1.(2)
Δ = 1 -8
Δ = -7
Como Δ é negativo, não tem raízes.
Isso significa que essa equação não tem solução nos números reais.


d) x² + 7x -6 = 0
S = -7
P = - 6 (Produto negativo, dois números com sinais diferentes)

6   2
3   3
1

2 . 3 = 6
2 - 3 = 1
-2 + 3 = 1

1 . 6 = 6
1 - 6 = 5
-1 + 6 = 5

Não tem nenhuma outra opção de produto que resulte em 6, então não dá pra resolver por soma e produto. (se fosse x² - 7x + 6 = 0 daria, então o professor deve ter trocado sem perceber).
Vamos resolver por Bháskara:
Δ = 7² - 4.1.(-6)
Δ = 49 + 24
Δ = 73   (que não tem raiz exata)
x = (-7 +/- √73)/2
x = (-7 + √73)/2  ou
x = (-7 - √73)/2
Nós nunca conseguiríamos encontrar esse número com soma e produto.

e) x² -0,2x + 0,04 = 0
Primeiro vamos transformar os decimais em frações:
0,2 = 2/10 = 1/5
0,04 = 4/100 = 1/25
x² -1/5x + 1/25 =0

Podemos escrever 1/25 como os seguintes produtos:
1.1/25 = 1/25
1/5.1/5 = 1/25
Mas se somarmos vai dar:
1 + 1/25 = 26/25 (não dá 1/5 que deveria ser a soma das duas raízes)
1/5 + 1/5 = 2/5    (também não dá 1/5)

Vamos, então, resolver a equação usando Bháskara:
Δ = (-1/5)² - 4.1.1/25
Δ = 1/25 - 4/25
Δ = -3/25
Como o delta (Δ) é negativo, a equação não tem raízes reais, portanto, por isso não conseguimos encontrar as raízes usando soma e produto.


f) -x² +10x + 24 = 0
Vamos multiplicar por -1:
x² - 10x - 24 = 0
S = 10
P = -24 (produto negativo, as duas raízes tem sinais diferentes)

24   2
12   2
  6   2
  3   3
  1

2. 12 = 24
-2 + 12 = 10
-2 . 12 = -24
As raízes são -2 e 12

g) 3x² - 5x + 2 = 0
Para que a=1, vamos dividir tudo por 3
x² - 5/3 x + 2/3 = 0
S = 5/3
P = 2/3 (as duas raízes têm o mesmo sinal, com a soma é positiva, as duas são positivas)
Pode ser:
1/3 . 2 = 2/3
S = $\frac{1}{3} + 2 = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{3}$
2/3 . 1 = 2/3
S = $\frac{2}{3} +1= \frac{2+3}{3} = \frac{5}{3}$
Pronto.
As raízes são 2/3 e 1.