Question

Nove amigos vão marcar um encontro.Três deles moram em Feira de Santana e os outros seis moram em Salvador e todos irão ao encontro, individualmente, em seus próprios carros.Eles desejam escolher um local E para o encontro de modo que a média aritmética das distâncias percorridas por cada um deles desde o local onde moram até o local do encontro seja a menor possível.Despreze as distâncias percorridas dentro de cada uma das duas cidades e represente por D a distância rodoviária, em quilômetros, entre Salvador e Feira de Santana.a) em Salvador.b) em Feira de Santana.c) no meio do caminho entre Salvador e Feira de Santana.d) no caminho entre Salvador e Feira de Santana, a uma distância D/3 de Salvador.e) no caminho entre Salvador e Feira de Santana, a uma distância D/3 de Feira de Santana

Answer 1

Vamos representar as cidades por F (Feira de Santana) e S (Salvador) e as distâncias delas ao ponto de encontro respectivamente por $d_F$ e $d_S$.

Note que $d_F + d_S = D$.

Assim, sabendo que 3 pessoas percorrerão  distância $d_F$ e que 6 percorrerão $d_S$, temos que  média aritmética dos percursos será:

$\cfrac{3d_F + 6d_S}{9} = \cfrac{3d_F + (3d_S + 3d_S)}{9} = \cfrac{(3d_F + 3d_S) + 3d_S}{9} \\ \\ = \cfrac{3D + 3d_S}{9} \ \ \ = \ \ \ \cfrac{D + d_S}{3} \ \ \ = \ \ \ \boxed{\cfrac{D}{3} + \bold{\cfrac{d_S}{3}}}$

Note que não importa onde o encontro seja, mas a média sempre dependerá apenas da distância a Salvador, já que D é sempre a mesma distância.

Portanto a média será a menor possível quando a distância do encontro a Salvador for a menor possível, ou seja, zero. 

Logo o encontro devera ser em Salvador.

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Alternativa a)