Question

Verifique se Z x Z é grupo em relação a cada uma
das seguintes leis de composição:

 


a)   (a,b)*(c,d) = (a+c, b +d)


b)   (a,b) Δ (c,d) = (a . c , b . d)

Answer 1

Um Sistema Matemático constituído de um conjunto M e uma operação # é considerado grupo se forem válidas as seguintes propriedades:
1) Associativa
2) Existência do elemento neutro
3) Existência do elemento simetrizável
4*) Se for válida a propriedade comutativa, diz-se que o grupo é abeliano.
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(a,b)*(c,d) = (a+c, b +d)

1. Sejam (a,b), (c,d) e (e,f) £ ZxZ, tal que a, b, c, d, e, f £ Z.

[(a,b)*(c,d)]*(e,f) = (a,b)*[(c,d)*(e,f)]
[(a+c, b+d)]*(e,f) = (a,b)*[(c+e, d+f)]
(a+c+e, b+d+f) = (a+c+e, b+d+f)

Logo, vale a associatividade.

2. Seja (a,b) £ ZxZ, com a e b £ Z e (e1,e2) o elemento neutro de ZxZ, com e1 e e2 £ Z.

Temos que:

(a,b)*(e1,e2) = (a,b)
(a+e1, b+e2)=(a,b)

a+e1 = a
e1 = a - a
e1 = 0

b+e2 = b
e2 = b-b
e2 = 0

Logo, (e1,e2) = (0,0)

Devemos fazer também (e1,e2)*(a,b) = (a,b), pois para existir elemento neutro ele deve existir pela esquerda e pela direita em relação a operação. A prova é igual a que fizemos acima.

3. Elemento simetrizável. Seja (a,b) £ ZxZ, (e1,e2) = (0,0) o elemento neutro, e (a',b') o elemento simetrizável. Temos que

(a,b)*(a',b') = (e1,e2)
(a,b)*(a',b') = (0,0)
(a+a', b+b') = (0,0)

a+a' = 0
a' = 0-a
a' = - a

b + b' = 0
b' = 0 - b
b' = -b

Logo, (a',b') = (-a,-b)

Devemos fazer também (a',b')*(a,b)= (e1,e2)

Logo ZxZ é gripo em relação a operação (*)

(Não é necessária verificar a propriedade 4*, só se o exercício pedir para mostrar que o grupo é abeliano. Caso necessário basta fazer: 

(a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b) => (a+c, b+d) = (c + a, d+b) )

(a,b) Δ (c,d) = (a . c , b . d) (farei mais direto)

1. Sejam (a,b), (c,d) e (e,f) £ ZxZ, tal que a, b, c, d, e, f £ Z.

[(a,b)Δ(c,d)]Δ(e,f) = (a,b)Δ[(c,d)Δ(e,f)]
[(a . c, b . d)]Δ(e,f) = (a,b)Δ[(c . e, d . f)]
(a . c . e, b . d . f) = (a . c . e, b . d . f)

Δ é associativa

2. Seja (a,b) £ ZxZ, com a e b £ Z e (e1,e2) o elemento neutro de ZxZ, com e1 e e2 £ Z.

(a,b)Δ(e1,e2) = (a,b)
(a . e1, b . e2)=(a,b)

a . e1 = a
e1 = a/a
e1 = 1

b . e2 = b
e2 = b/b
e2 = 1

Logo, (e1,e2) = (1,1)

Δ possui elemento neutro

3. Elemento simetrizável. Seja (a,b) £ ZxZ, (e1,e2) = (0,0) o elemento neutro, e (a',b') o elemento simetrizável. Temos que

(a,b)Δ(a',b') = (e1,e2)
(a,b)Δ(a',b') = (1,1)
(a . a', b . b') = (1,1)

a . a' = 1
a' = 1/a

b . b' = 1
b' = 1/b

(a',b') = (1/a,1/b)

Mas 1/a e 1/b não pertencem a Z, logo não exite elemento simetrizável em relação a operação Δ para ZxZ

Logo, ZxZ não é grupo em relação a Δ.

(Explicação longa, mas espero ter ajudado.)

Answer 2

Resposta:

essa letra a como provar que é regular ??