Question

Utiliza sistema de equações linearese o método de escalonamento para balancear a equação quimica dada a seguir:
Si2H3+O2 -> SiO2+H2O

Answer 1

Colocando os coeficientes desconhecidos ao lado dos reagentes e dos produtos:

$w\mathrm{\,Si}_{2}\mathrm{H}_{3}+x\,\mathrm{O}_{2}\to y\,\mathrm{SiO}_{2}+z\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}$


A quantidade de átomos de cada elemento deve ser igual antes e após a reação química. Logo, para cada elemento químico envolvido na equação, devemos igualar a quantidade que aparece do lado esquerdo e do lado direito.


$\bullet\;\;$ Para o silício $\mathrm{(Si)}$

$2w=y\\ \\ 2w-y=0$


$\bullet\;\;$ Para o hidrogênio $\mathrm{(H)}$

$3w=2z\\ \\ 3w-2z=0$


$\bullet\;\;$ Para o oxigênio $\mathrm{(O)}$

$2x=2y+z\\ \\ 2x-2y-z=0$


Logo, temos o seguinte sistema de equações:

$\left\{ \begin{array}{ccr} 2w-y&=&0\\ 3w-2z&=&0\\ 2x-2y-z&=&0\\ \end{array} \right.$


Reescrevendo em forma matricial, temos

$\left[ \begin{array}{cccc} 2&0&-1&0\\ 3&0&0&-2\\ 0&2&-2&-1 \end{array} \right ]\cdot \left[ \begin{array}{c} w\\ x\\ y\\ z \end{array} \right ]= \left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right ]$


Escrevendo a matriz ampliada e escalonando, temos

$\left[ \begin{array}{cccc|c} 2&0&-1&0&0\\ 3&0&0&-2&0\\ 0&2&-2&-1&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{1}\leftrightarrow L_{2}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 3&0&0&-2&0\\ 2&0&-1&0&0\\ 0&2&-2&-1&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{1}\leftarrow \frac{1}{3}L_{1}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 2&0&-1&0&0\\ 0&2&-2&-1&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&0&-1&\frac{4}{3}&0\\ 0&2&-2&-1&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{2}\leftrightarrow L_{3}$


$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&0&-1&\frac{4}{3}&0\\ 0&2&-2&-1&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{2}\leftrightarrow L_{3}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&2&-2&-1&0\\ 0&0&-1&\frac{4}{3}&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{2}\leftarrow \frac{1}{2}L_{2}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&1&-1&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&-1&\frac{4}{3}&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{3}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&1&0&-\frac{11}{6}&0\\ 0&0&-1&\frac{4}{3}&0 \end{array} \right ]\;\;\;L_{3}\leftarrow -L_{3}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&0&-\frac{2}{3}&0\\ 0&1&0&-\frac{11}{6}&0\\ 0&0&1&-\frac{4}{3}&0 \end{array} \right ]$


Da última matriz, deixamos a variável $z$ livre. Assim, reescrevendo as equações, temos

$\left\{ \begin{array}{ccr} w-\frac{2}{3}z&=&0\\ \\ x-\frac{11}{6}z&=&0\\ \\ y-\frac{4}{3}z&=&0\\ \\ z-z&=&0 \end{array} \right.\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{ccr} w&=&\frac{2}{3}z\\ \\ x&=&\frac{11}{6}z\\ \\ y&=&\frac{4}{3}z\\ \\ z&=&z \end{array} \right.$


O vetor solução do sistema (indeterminado, portanto infinitas soluções) é

$\left(w,\,x,\,y,\,z \right )=\left(\frac{2}{3}z,\,\frac{11}{6}z,\,\frac{4}{3}z,\,z \right)\\ \\ \left(w,\,x,\,y,\,z \right )=\frac{z}{6}\left(4,\,11,\,8,\,6 \right)$


Se tomarmos por exemplo, $z=6$, a equação balanceada pode ser escrita com os coeficientes

$\left(w,\,x,\,y,\,z \right )=\left(4,\,11,\,8,\,6 \right)$


e finalmente, chegamos a

$4\mathrm{\,Si}_{2}\mathrm{H}_{3}+11\,\mathrm{O}_{2}\to 8\,\mathrm{SiO}_{2}+6\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}$