Question

Use uma integral dupla para calcular a área do gráfico

Answer 1

A primeira coisa que devemos fazer eh determinar o intervalo de x e de y, um deles vai ter que estar na funcao do outro, eu irei colocar y em funcao de x por conveniencia. Nesse caso os limites de y sao da funcao abaixo da area ateh a funcao acima da area, isso eh facilmente visualizavel. Se fossemos deixar x em funcao de y teriamos que inverter as funcoes dadas e trabalhar com o que esta atras da area e na frente da area.:

$x^2 \leq y\leq 2x\\0\leq x\leq2\\\\ \int\limits^2_0 { \int\limits^{2x}_{x^2} {} \, dy} \, dx \\\\\\\int\limits^2_0 { [y]^{2x}_{x^2}} \, dx=\int\limits^2_0 { 2x-x^2} \, dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]^2_0=2^2-\dfrac{2^3}{3}=\boxed{\dfrac43}$