Question

Usando as propriedades de produto escalar e produto vetorial, prove as seguintes afirmações:
(a) |u x v| = |u| |v| ⇔ u ┴ v
(b) u = -v ⇒ u.v ≤ 0
(c) u. v ≤ |u| |v|

Answer 1

a)
Sendo θ o ângulo entre u e v
|u x v| = |u| |v| sen θ
Para se ter:
|u x v| = |u| |v|
Se, e somente se sen θ = 1, com isso, θ = 90°
Logo,
u ┴ v

b)
u.v = u.(-u) = (-1) u.u = (-1) |u|²
Como módulo só assume valores positivos ou zero, (-1) |u|² = u.v ≤ 0

c)
Sendo α o ângulo entre u e v
u.v = |u| |v| cos α
Como -1 ≤ cos α ≤ 1
(-1) |u| |v| ≤ |u| |v| cos α ≤ (1) |u| |v|
Logo,
u.v ≤ |u| |v|