Question

(UnB) A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais.As figuras abaixo ilustram os três primeiros passos da construção de um fractal a partir de um quadrado de lado L, sendo que a figura II representa o padrão desse fractal.
O procedimento pode ser escrito da seguinte maneira:

Passo 1: Considere o quadro representado na figura I.

Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se três outros quadrados, conforme ilustra a figura II.

Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados obtidos no passo 2, obtêm-se nove outros quadrados, conforme ilustra a figura III.
O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes.Considerando L = 5 cm, determine, em cm², a área total da figura obtida no oitavo passo. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
a) 35
b) 37
c) 39
d) 41
e) 43

Answer 1

Primeiramente, calculamos a área do primeiro quadrado.
A₁ = L²
A₁ = 5²
A₁ = 25

Como a área do quadrado sempre é dividida em 3 partes iguais, temos uma progressão geométrica infinita decrescente, cuja razão (q) é 1/3. Logo:

Sn = a₁·(1 - qⁿ)
           1 - q
Sn = 25·[1 - (1/3)⁸]
            1 - 1/3
Sn = 25·[1 - 1/6561]
             1 - 1/3
Sn = 25·[6560/6561]
               2/3
Sn = 164000/6561
               2/3
Sn = 164000 · 3
           6561     2
Sn = 492000
         13122
Sn = 37,5

Desprezando a parte decimal, a área total é 37 cm².

Alternativa B