Question

Uma rampa provisória precisa ser instalada para transportar rapidamente caixas contendo 10 kg de entulho do primeiro andar até o térreo. A rampa tem comprimento de 10 m e o ângulo em relação ao solo é de 20°. Por medida de segurança, você decidiu colocar uma mola ao fim desta rampa para diminuir a velocidade de impacto das caixas. Seu chefe disponibilizou 3 opções de mola com valores de constante elástica (k) iguais a 30, 40 ou 50 kN/m. Considerar aceleração da gravidade igual a 9,8 N/kg e força de atrito igual a 10 N. Considere também que as caixas partem do repouso.

1.a. Faça um esboço da rampa indicando t odas as forças que estão atuando sobre a caixa. Você pode fazer este desenho à mão, pode usar qualquer software gráfico que desejar (SolidWorks, Corel, Photoshop...) ou pode tirar uma captura de tela do simulador.
1.b. Calcule o valor de cada uma destas forças. É necessário indicar todos os passos dos cálculos e também as unidades.
1.c. Utilizando apenas as fórmulas abaixo, realize as deduções necessárias e determine o tempo em segundos para uma caixa percorrer os 10 m da rampa.
fr=m.a

1.d. Esboce o gráfico de velocidade versus tempo e escreva a equação que representa esta função durante a descida, antes do contato com a mola. O esboço pode ser feito à mão ou com a ajuda de algum software.
1.e. Calcule as energias cinética e potencial gravitacional do bloco no início e no final da rampa (ou seja, 4 valores de energia). Você vai observar que a energia total no início e no final da rampa tem valores diferentes. Explique o motivo.
1.f. Considerando que a mola absorve toda a energia da caixa e a deformação da mola não pode ser maior que 10 cm, responda: das molas disponíveis, qual a mola você deverá escolher? Apresente todos os cálculos que te levaram a esta escolha.

Answer 1

Resposta:

1a) Montar o diagrama de corpo livre

1b) FP = 98 N / FY = 92,09N / FX = 33,5N / FR = 23,5N / Fat = 10N

1c) t = 2,9 segundos

1d) Montar o gráfico com a função: V(t) = 2,35t

1e) Epg = 333,5 J / Ec= 235,2 J

1f) A Mola3 = 50KN/m

Explicação:

1a) Montar um diagrama de corpo livre com a rampa em 20° e a caixa em cima. Considerar as forças: N (para cima); Fy (contraria a N); FR (descendo a rampa); P (para baixo, perpendicular ao solo); Fx (descendo a rampa, decomposição da P) e Fat (Para cima, segurando a caixa). Total de 6 forças atuando.

1b) Valor das Forças:

Força P (FP): Massa: 10Kg     a=9,8 m/s²

FP = m*a

FP = 98N

Força Normal (N) e FY

N = FY  /  FP = 98N

FY = FP * Cos 20°

FY = 92,09N

Força eixo X (Fx):

FX = FP * Sen 20°    --> /  FP = 98N

FX = 33,5N

Força Res. (FR)

FR = FX - Fat   --> Fat foi dado no exercício = 10N

FR = 23,5N

1c) Tempo para percorrer os 10 m:

Aceleração (a)

FR = m*a  

a = 2,35 m/s^2

Usando a equação de Torricelli:

                                            V² = Vo² + 2aΔS

                                            V² = 0 + 2(2,3518)10

                                            V = √47,036

                                            V = 6,8 m/s

Tempo (t):

ΔS=1/2*(V+V₀)t

10=1/2*(V+0)t

20=V*t

t = 20/V

Substituindo V (calculado acima):

t = 20/6,8

t = 2,9 segundos

1d) Construa o gráfico com a função: V(t)=2,35t

Usem o Geogebra 2D.. ele gera o gráfico na hora.

V= V₀ + at

V = 0 + 2,35t

V(t) = 2,35t

1e)  Energias

Epg = m*g*h

Epg = 10*9,81*3,4

Epg = 333,5 J

Ecin = (m*v^2)/2

Ecin = (10 * 6,8^2)/2

Ec= 235,2 J

1f) Molas

Eel = Ec = 235,2 J

Eel = (Kx^2)/2

Mola1 = 30KN/m

235,2 = (30000*x^2)/2

x = 0,13m ou 12cm

Mola2 = 40KN/m

235,2 = (40000*x^2)/2

x = 0,11m ou 11cm

Mola3 = 50KN/m

235,2 = (50000*x^2)/2

x = 0,09m ou 9cm

Portanto somente a Mola3 com K= 50KN/m fica dentro do critério abaixo de 10cm e compressão.

Answer 2

Utilizaremos os conceitos de Mecânica Clássica para resolver cada uma das etapas do experimento proposto.

a) O esboço de um diagrama de forças atuantes na caixa está representado na primeira figura anexada. Nela vemos uma força normal perpendicular ao plano da rampa inclinada e diametralmente oposta à componente Pcos20º da força peso.

Temos também a força de atrito atuando no sentido oposto ao movimento da caixa e a componente Psen20º paralela à rampa, que é a responsável pelo movimento de descida dessa caixa pela rampa, até atingir a possível mola fixada.

b) Começando pela força de atrito que já nos foi fornecida no enunciado:

$F_{at} = 10 N$

A força peso da caixa é:

$P = mg = 10*9,8 = 98 N$

Sendo assim, a componente perpendicular à rampa será:

$Pcos20^\circ = 98*0,9397 = 92,09 N$

A força normal valerá:

$N = Pcos20^\circ = 92,09 N$

E a componente paralela à rampa:

$Psen20^\circ = 98*0,342 = 33,52 N$

c) Primeiro vamos calcular a força resultante atuante sobre a caixa, ela será equivalente à soma das componentes paralelas à rampa, ou seja:

$F = Psen20^\circ - F_{at} = 33,52 - 10 = 23,52 N$

Agora aplicaremos a segunda lei de Newton para calcularmos a aceleração da caixa nesse movimento:

$F = ma\\\\23,52 = 10a\\\\a = 23,52/10 = 2,35 m/s^2$

Considerando que a caixa partiu do repouso, ou seja, com velocidade inicial nula, a velocidade dela no final da rampa será:

$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} \\\\2,35 = \frac{V - 0}{t} \\\\V = 2,35t$

Por fim, podemos calcular o tempo gasto para a caixa atingir o final da rampa:

$\Delta S = \frac{1}{2} (V + V_o)t\\\\10 = \frac{1}{2} (2,35t + 0)t\\\\20 = 2,35t^2\\\\t^2 = 20/2,35 = 8,51\\\\t = \sqrt{8,51} = 2,92 s$

d) O gráfico da velocidade da caixa em função do tempo de descida está na segunda figura anexada.

Para construir esse gráfico vamos utilizar a seguinte função que calculamos na alternativa anterior:

$V = 2,35t$

, ou ainda:

$V(t) = 2,35t$

e) A energia cinética é calculada por:

$E_c = \frac{mv^2}{2}$

E a potencial gravitacional por:

$E_p = mgh$

Pela figura vamos calcular a altura total da rampa, considerando-a um triângulo retângulo:

$sen20^\circ = H/10\\\\H = 10sen20^\circ = 3,42m$

Logo, a energia cinética e potencial gravitacional no inicio da rampa valerá:

$E_c = \frac{10*0^2}{2} = 0 J\\\\E_p = 10*9,8*3,42 = 335,16 J$

Agora vamos calcular a velocidade final da caixa no final da rampa. Aplicando a fórmula da alternativa d) com o tempo total calculado na alternativa c), vamos ter:

$V(2,92) = 2,35*2,92 = 6,86 m/s$

Deste modo, no final da rampa, a energia cinética e a potencial gravitacional serão:

$E_c' = \frac{10*6,86^2}{2} = 235,3 J\\\\E_p' = 10*9,8*0 = 0 J$

A energia mecânica não se conservou pela presença da força dissipativa de atrito entre a caixa e rampa.

f) Se a deformação máxima da mola deve ser de 10cm = 0,1m então devemos encontrar a constante elástica da mola que suportará essa deformação.

Considerando que a mola absorverá toda a energia da caixa então podemos igualar a energia cinética da caixa no final da rampa com a energia potencial elástica adquirida pela mola:

$E_c' = E_{el}\\\\235,3 = kx^2/2 = k*(0,1)^2/2\\\\k = 2*235,3/(0,1)^2 = 47060 N/m$

Para transformarmos em kN/m basta dividirmos por 1000:

$k = 47060/1000 kN/m = 47,06 kN/m$

A única mola que apresenta valor maior que esse é a de 50 kN/m, logo utilizaremos elas no projeto.

Você pode aprender mais sobre Mecânica Clássica aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19405864